浅析高等数学中的数学思想

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1、浅析高等数学中的数学思想浅析高等数学中的数学思想　　一、函数思想　　函数概念和函数思想的提出和运用，使得变量数学诞生了，常量数学发展到变量数学，函数思想起了决定性作用。函数是数学分析的研究对象，函数思想就是运用函数的观点，把常量视作变量、化静为动、化离散为连续，将待解决的问题转化为函数问题，运用函数的性质加以解决的一种思想方法。　　在数学分析中，我们通常用来解决不等式的证明、方程根的存在性与个数、级数问题、数列极限等。　　例1，证明：当x>0时，x-<1n（1+x）。　　分析：这是一个不等式证明问题本文由.L.收集整理，直接证

2、明有一定难度，但是将此问题转化为函数问题的单调性，即可解决问题。　　证明：构造辅助函数f（x）=1n（1+x）-x+，则f`（x）=-1+x，可证当x>0时，f`（x）>0，因此单调递增。又因为f（0）=0，所以当x>0时，f（x）>f（0）=0，即原不等式成立。　　例2，判断∑（-1）n的敛散性。　　分析：这是一个级数问题，该级数为交错级数，从函数的观点出发，化离散为连续，转化为函数问题，运用函数的性质，从而解决问题。　　解：该级数为交错级数，由莱布尼兹判别法知，要判断其敛散性，只需判断通项的绝对值un=

3、=是否单调减少且趋于为0。为此，将un连续化，设f（x）=，由于f`（x）=，当x>9时，f`（x）<0，即f（x）在（9，+∞）内单调递减。将特殊值x=n（n为大于9）的自然数代入知，un=f（n）也递减且极限为0，故此级数收敛。　　二、极限的思想　　极限的思想方法是近代数学的一种重要思想方法，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究初等函数的一门学科。极限是研究无限的有力工具，极限揭示了常量与变量、有限与无限、直线与曲线、匀速运动与变速运动对立统一的关系。极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终，一

4、方面利用极限的思想给出了连续函数、导数、定积分、无穷小（大）量、级数的敛散性、多元函数的偏导数、广义积分的敛散性、重积分、曲线积分、曲线弧长、曲面积分等的概念，数学分析中几乎所有的概念都离不开极限的思想。另一方面在闭区间列上的区间套定理体现了极限的思想，泰勒定理中的泰勒公式就是利用多项式函数去逼近已知函数等。学习者以极限理论为工具，以现实具体的问题为背景，从具体到抽象，特殊到一般地去理解概念及定理的本质，可以增强分析和解决问题的能力。　　对所求量，先构造与其相关的变量，前提是该变量无限变化的结果就是所求量，此时采用极限运算得到所求量。例如

5、邱瞬时速度、曲面弧长、曲变形面积等问题，就是采用了极限的思想。　　例3，如果物体做非匀速直线运动，其运动规律的函数是s=f（t），其中t为时间，s是距离，求它在时刻t0的瞬时速度。　　解：物体从时刻到时刻这段时间内的平均速度是：　　v==，当

6、△t

7、很小时，时刻t0的瞬时速度v0≈v，因此当无限趋近于0（△t≠0）时，就无限趋近于v0，即v0=1im=1im。　　三、连续的思想　　在数学分析中，把函数的连续性局部化到当函数的自变量在某点邻域内作微小变动时，相应函数值也在对应点的函数值邻域内作微小变动。　　这种思想应用到连

8、续函数求极限的情形，就可以把极限的复杂问题转化为求函数值的问题，从而大大简化了运算。如果给定的函数不连续，可以通过整理、化简、变换等途径将其转化为连续函数，再利用上面的方法求其极限。　　例4，求1im，（a>0，a≠1）。　　解：将给定的函数变形为1oga（1+x），再根据对数函数的连续性，有1im=1im1og（1+x）=1oga[1im（1+x）]=1ogae。　　四、数形结合的思想　　数学是研究空间形式和数量关系的科学，而空间形式和数量关系之间往往存在密切的联系，又有各自特点。数形结合思想方法，就是充分利用形的直观性和数

9、的规范性，通过数与形的联系转化来研究数学对象和解决数学问题。具体包括：数转化为形的思想；形转化为数的思想。这种方法使得复杂问题简单化、抽象问题具体化、形象化、直观化，化难为易，最终找到最优解决方案。　　数形结合的思想在数学分析课程中的应用广泛，很多抽象问题中都蕴含着某种几何意义，借助几何图形，对抽象问题进行几何解释，使抽象问题结合图形更容易深入理解，更容易掌握其最本质的知识。　　比如：极限、曲线的渐近线、导数与微分、二元函数偏导数与全微分、定积分与重积分、反常积分（无穷积分与瑕积分）、函数的单调性、函数的凹凸性等概念的几何意义，对于确切理

10、解并正确掌握这些基本概念是非常重要的，同时为解决各种实际问题提供了多样化的方法。　　又比如：闭区间上连续函数基本性质（介值性定理、根的存在定理）、微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理