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1、保定学院本科毕业论文（设计）题目：迭代思想在高等数学中的应用系（部）数学与计算机系学科门类理学专业数学与应用数学学号姓名指导教师职称副教授2014年05月29日摘要迭代思想在高等数学中的应用摘要迭代法，是一种借助计算机运算来完成的不断用变量的旧值递推新值的过程。本文主要就是介绍一些普遍使用的迭代法解线性方程组和非线性方程，并对各种迭代法条件的限制、收敛性及迭代效率高低进行比较，从而得出求方程根的最适用解法，并借助MATLAB软件完成迭代法的计算机实现。关键词：迭代方法线性方程组非线性方程收敛速度MATLABABSTRACTIterationmethodisaprocesswhichiswith
2、theaidofcomputeralgorithmstocompletetheoldvalueofthevariabletotherecursivenewvaluecontinuously.Inthispaper,ismainlyintroducedsomeofthecommonlyusedtheiterativesolutionoflinearequationsandnonlinearequations,aswellascomparetherestriction、convergenceandefficiencyofthelinearequations,thenconcludedthemost
3、effectiveoftheequationrootsolution.AndwiththehelpofMATLABsoftwaretocompletetheiterationmethodofcomputerimplementation.Keywords：IterativemethodsSystemsoflinearequationsgroupNonlinearequationConvergencerateMATLAB目录目录1引言-1-2求解方程(组)根的几种迭代法-1-2.1求线性方程组的迭代法-1-2.1.1雅可比迭代法-1-2.1.2高斯-赛德尔迭代法-1-2.1.3逐次超松弛迭代法-2
4、-2.2求非线性方程的迭代法-2-2.2.1简单迭代法-2-2.2.2牛顿迭代法-2-2.2.3弦割法-3-3分析比较各种迭代法的实用性-3-3.1线性方程组的迭代收敛性分析-3-3.2各类迭代法收敛速度的比较-4-3.2.1线性方程组求根方法的比较-4-3.2.2非线性方程求根方法的比较-6-4迭代算法的计算机实现-7-4.1高斯-赛德尔迭代法的MATLAB实现-7-4.2非线性方程中牛顿迭代法的MATLAB实现-8-5总结与展望-9-5.1本文总结-9-5.2工作展望-9-参考文献-9-致谢-11-附录-12-保定学院2014届毕业论文（设计）1引言方程(组)求根问题是很有实际意义的，解决
5、这些问题主要有两种方法，即解析法和数值法。解析法得到的是精确解，但通过解析法并不能求得所有方程(组)的根。我们经常会遇到的高次方程或超越方程以及一些非线性方程的求解问题就需要我们寻求其它方法得到比较精确的近似解。所以本文主要介绍一些迭代思想在解决方程(组)求根问题中的应用，及其在计算机上的实现。2求解方程(组)根的几种迭代法解析式是不能够用来表示一般方程或个未知量的方程组,的解的。所以这里我们将介绍几种求近似解的普遍适用方法—迭代法。首先明确迭代法的基本思想，即对于给定的方程,经过恒等变形成为,改写成迭代格式为,选定初始值,使用迭代格式反复不断校正根的近似值，求得符合精度要求的近似根值。下面介
6、绍几种求解线性方程组和非线性方程的迭代法。2.1求线性方程组的迭代法2.1.1雅可比迭代法在求解线性方程组的解时，若,则构成迭代公式给定初值,令可得.如果此序列收敛于,那么每个分量序列必收敛于,.这种解法称为雅可比迭代法。2.1.2高斯-赛德尔迭代法在雅可比迭代法的使用过程中，按公式计算,右边全是的分量，只有当的分量被全部算出后，才能用的分量代换的分量来算得,而如果想将已经算出的分量立即代替对应的分量来求,那就需要借助另外一种方法—高斯-赛德尔迭代法。其迭代公式为-9-保定学院2014届毕业论文（设计）2.1.3逐次超松弛迭代法在高斯-赛德尔迭代法中改写第i个分量并在校正量前乘以一个,可得方括
7、号的内部就是高斯-赛德尔迭代公式的右半部分，叫做松弛因子。逐次超松弛迭代法也可以看成是高斯-赛德尔迭代与的一种算术加权平均。的选取如果合适，就会加快收敛速度。显然当时，就变成了高斯-赛德尔迭代。2.2求非线性方程的迭代法2.2.1简单迭代法已知根的存在区间,自然可取中点作为根的精确近似值.而为求逐次逼近的近似值,最好是用同一个迭代公式,(2-1)简单迭代法就是利用(2-1)式来求根的近似值。其中叫
