例析数形结合思想在高等数学教学中的应用_鲍培文

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1、第4卷第10期当代教育理论与实践Vol．4No．102012年10月TheoryandPracticeofContemporaryEducationOct．2012例析数形结合思想在高等数学教学中的应用①鲍培文(武警特种警察学院数理教研室，北京102211)摘要:分析了军校高等数学的教学现状及其瓶颈问题，寻找与之相适应的数形结合方法，化抽象为形象，降低高等数学中概念、定理的理解难度，把握数学问题的本质，达到学数学、做数学、用数学的统一。关键词:数形结合思想;极限;定积分;导数;零点定理中图分类号:G64文献标识码:A文章编号:167

2、4－5884(2012)10－0074－04一高等数学概述及其现状中常用的思想方法，数形结合思想可以使某些抽象的数学高等数学是理工科院校本科学员的一门基础文化课，问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于是初等数学的自然发展，也是实际应用的有力工具。通过把握数学问题的本质;另外，由于使用了数形结合的方法，高等数学的学习，学员不仅能学到数学知识，还能运用高很多问题便迎刃而解，且解法简捷。等数学的有关理论去解决实际问题，达到学数学、做数学、用数学的统一。正如马克思所说的“一门学科只有引入数三高等数学的数形结合思想的应用学才会变

3、得精确”，应用数学解决实际问题是学习数学的高等数学的数形结合思想方法，其实质是将抽象的数最高境界和最终目标。目前，高等数学已经用来解决物学语言与直观的图像结合起来，其关键是代数问题与图形理、力学、天文、化学、生物、医学、航空、工程、经济以及日常之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代生活的问题。数化，包含“以形量数”和“以数思形”两个方面，其应用大高等数学是军校学员学习的一门瓶颈学科，学员学起致可以分为两种情形:一是借助形的生动和直观性来理解来吃力，他们普遍认为高等数学抽象、逻辑性强，加之专业概念，阐明数形之间的联系，即以

4、形作为手段，数为目的，中所需要的高等数学知识还没有形成体系，不能结合专比如应用初等函数的图像来直观地说明函数的性质;二是业，运用高等数学解决军事问题，体会不到它的应用，究其借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即原因是在高等数学的学习中没有化抽象为形象，如果在高以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地等数学的教学中采用数形结合的思想方法，降低高等数学阐明曲线的几何性质。中概念、定理的理解难度，必然会有好的教学效果。(一)“以形量数”，借助形的生动和直观性来阐明数形之间的联系二高等数学中的数形结合思想教学中若从概念

5、的几何背景入手，借助直观的几何图高等数学包括空间解析几何和微积分知识，解析几何形引导和启发学员观察、分析，由具体逐步过渡到抽象，将本身就包含了数形结合基本思想，特别是在解题中将数形有助于学员理解抽象的概念。结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关1．极限概念教学中的数形结合系的研究中，微积分中也充满了数形结合思想。极限的概念是微积分的第一个重要概念，是连续、可所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通导、不定积分、定积分等一系列概念的基础，如果“极限”概过数与形的相互转化来解决数学问题。数形结合是数学念掌握不好，学员就

6、很难学懂以后的内容，从而大大削减收稿日期:2012－06－22①作者简介:鲍培文(1968－)，女，江西南昌人，教授，硕士，主要从事高等数学、线性数学、概率论与数理统计、军事运筹学的教学及优化理论研究。74学习数学的兴趣和信心。如何让学员直观、清晰地了解极之间各部分面积的代数和。限蕴含的丰富的数学思想，又能较容易接受极限的概念定积分概念的引入可以使复杂问题简单化，抽象问题呢?教员可以用生动直观的数学图形，采取“数形结合”的具体化，化难为易，有时还可以减少计算量，巧解问题。a思想来加深学员印象。22例1用定积分的几何意义求∫槡a－xd

7、x。0观察函数当x→∞时的图形(见图1)，我们可以直观a22地看到函数的变化趋势，了解到x→∞时函数值无限趋于解:如图可知∫槡a－xdx是由x=0，x=1，y=0“0”，这就是极限的意义。可见函数极限是考察自变量在22槡a－x所围成的曲边梯形的面积，即以原点为圆心，以某“运动变化”过程中函数值是否“无限接近”一个固定值，a1222其中自变量是按一定趋势“无限”变化的，而函数值总是趋a为半径的圆在第一象限的面积，∫0槡a－xdx=4πa。于一个“有限”值。2例2由曲线y=x槡1－x，y=1，x=－1，x=1所围成平面区域的面积是。解:

8、这是一个典型题，通过画图，利用奇函数的对称性进行图形割补，可以得到所求面积为y=0，y=1，x=－1，x=1所围成的矩形面积。此外，定积分性质的基本假设所作两点补充规定:(1)bab当a=b时，∫f(x)dx=∫f(x)dx=0;(2