凑全微分法解微分方程

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凑全微分法解微分方程关于解微分方程，书上有的方法我也就不多说了~！这里重点说说不常提到的凑全微分法~。由于凑全微分会涉及下一学期的内容，所以本色书上没有提到~。但是对于解微分方程，凑全微分确实是一个很方便很实用的方法。下面来举个例子~：求微分方程通项。【解】将方程改写为从而原方程的通解就是注意：凑全微分法通常较为简捷，但要求熟悉未分公式并能正确分组。熟记下面的微分关系式对使用这个方法是很有帮助的。但并不是所有的微分方程都可以凑得全微分形式的。对于微分方程，它能凑得全微分（即是全微分方程）的充要条件为。（若满足全微分方程条件，则其通项为或这不需要记，记一下全微分方程的充要条件即可~）下面来解释一下： 它的意思是：P函数对y求导的结果等于Q函数对x求导的结果。P对y求导的时候，x作为常数来考虑。即可相当于来处理。如：设（对于，只许记住结论即可，它的证明，还需涉及曲线积分的知识~）下面来看一个稍复杂的例子：求解一阶线性微分方程这是教材上的式子。书上是先用分离变量法求得一阶齐次线性微分方程，再用常数变易法来求解非齐次的情况。下面，我们换一种方法来解决它~：【解】因，故所给方程不是全微分方程。但它可以化为全微分方程：两边同乘上一个积分因子。待定系数下面来确定由，两边同乘上结果与高数书上的一样。归总一下：对于微分方程 其中。如果存在函数为微分方程，则称为积分因子。求积分因子一般来说不是件容易的事。积分因子不是唯一的，因而通解可能具有不同的形式。特别的，（1）若（仅是x的函数），则积分因子为（2）若（仅是y的函数），则积分因子为（对于楷体部分只作了解，掌握两个例题即可~）