不定积分凑微分法的思想与教学探析.doc

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1、不定积分凑微分法的思想与教学探析【摘要】凑微分法是解不定积分的一种重要而乂难以掌握的方法.本文给出了这种方法的简单易懂的一些规律，并将这些规律总结成一种行之有效的解题方法，并用一些典型的例子说明了这种方法的有效性.【关键词】凑微分法；中间变量；复合函数凑微分法(也称为第一类换元积分法)是一种常用且重耍的基本积分方法，其方法的运算过程与函数求导过程有着很大的联系.由于被积函数的复杂性，可选用的公式的多样性及换元技巧的灵活性，初学此方法的同学们即使了解了方法的整个过程，但是具体解题时会遇到各种各样的问题，即使是学了此方法很久的同学也深有同感•本文在大量实例的研究皋础上，提出了一种简单易学的解题

2、方法，此方法可以使初学者更快地入门,进而通过练习，可以很快地掌握凑微分法的基本思想及方法.一、基本理论与规律1・凑微分法的主要定理定理设f(u),4)(x),(X)都是连续函数，函数F(u)为f(u)的一个原函数，则jf[©(x)(x)dx二jf[©(x)]d4)(x)二f[©(x)]+C.2.主要规律由上述定理，我们可以得到关于凑微分法的基本规律如下:（1）凑微分法的被积函数一般是一个复合函数和其他函数的乘积形式，这可以作为使用此种方法的重要特征.（2）此种方法的基本思想是化繁为简，即通过凑微分和换元将被积函数变为基本初等函数再用公式计算即可.（3）此方法可看成复合函数求导的逆过程.二、

3、基本方法由基本定理和上述规律可见，在学习具体方法之前，首先有几个准备工作必须完成：（1）耍清楚适用丁此类方法的积分要具有什么特征，即在被积函数中一定有复合函数；（2）常用到的一些凑微分形式必须熟练掌握，如3dx二d（3x+l）,xdx=112dx2,llxdx=dln

4、x

5、,exdx=dex,cosxdx二dsinx,llx2dx=-dllx等等；（3）要对每个基本积分公式非常熟悉，以便凑微分后可以准确、快速地写出积分结果.基于上述讨论，下面给出运用凑微分法解题的基本步骤如下：（1）找关键：观察被积函数之中是否含有复合函数，若有，找出复合函数中的中间变量u二e（X）,这样，凑微分就有了目标

6、，©（X）是否能够准确地找出来是凑微分法能否继续进行的关键；（2）凑微分：知道了e（x）,就知道了冃标就是凑出de（x）,再根据被积函数给出的其他部分凑出d©（x）；（3）选公式：观察凑微分之后的积分形式（必要时需换元），确定用哪个基本公式；(4)写结果：根据选用的公式写出积分结果(若换元记得还要还原).三、具体例子下面通过儿个例子来阐述使用上述方法的解题思路.例1f11(3x-5)2dx.分析按照上述方法，第一步，要判定此积分被积函数中是否含有复合函数•显然，ll(3x-5)2=(3x-5)-2为复合函数,故可以找到e(x)=3x-5.第二步，我们知道了目标是将dx经过凑微分变为d(3x

7、-5).现将解题步骤书写如下：f11(3x-5)2dx=113f11(3x-5)2d(3x-5)(确定使用的公式为fllu2dx=-llu+C)=-113•113x-5+C.例2fllx(l+21nx)dx.分析被积函数llx(l+21nx)可看成乘积llx•lll+21nx,其中lll+21nx=(l+21nx)T为复合函数,则此题的4)(x)=l+21nx.目标为凑出dlnx,而做到这一点非常容易•具体过程如下：fllx(l+21nx)dx二jlll+21nx•llxdx=/lll+21nxdlnx=112/lll+21nxd(l+21nx)(确定使用的公式为flludx二lnu+C)

8、=1121nl+21nx+C.当然，我们提出的方法在具体使用中远不止像上面两例那么简单.比如下而的例子.例3jsinxcosxll+sin4xdx.分析我们还是按照上述方法进彳亍分析•被积函数sinxcosxll+sin4x可看成乘积lll+sin4x•sinxcosx,其中复合函数部分为lll+sin4x,故要找到©(x)二l+sin4x.