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1、空间任意力系第五章1、回顾力在直角坐标轴上的投影X=FsinγcosφY=FsinγsinφZ=FcosγX=FcosαY=FcosβZ=FcosγxyzXZYFβαγXZYFφxyzγ2.回顾力对点的矩力F对点O的矩矢为定位矢量nhrFOABzxyMO(F)=(yZ－zY)i+(zX－xZ)j+(xY－yX)k大小为：
2、MO(F)
3、=Fh=2△OAB△OAB为图中阴影部分的面积力对轴之矩是力对绕该定轴转动的物体作用效果的度量门上作用一个力F假定门绕z轴旋转将力F向z轴和xy面分解成两个分力Fz和Fxy。分力Fxy使门绕z轴旋转。FFxyFzzxy§5-1力对轴的矩Oz力对轴的矩之
4、定义正负可以按右手法则确定FFxyFzABh即Mz(F)=MO(Fxy)=±Fxyh=±2△OAB力对轴的矩等于零的情形：①力与轴相交(h=0)②力与轴平行(Fxy=0)一句话:只要力与轴共面,力对轴的矩等于零。FxyFxyFzFxyFxyFzFxy力对轴的矩是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于此平面与该轴的交点的矩的大小。顶着坐标轴看力使物体绕轴逆时针旋转为正。力对轴的矩之解析表达式设空间中有一个力FyxyxOzFxFyFxyXYZFA(x,y,z)力作用点A的坐标为（x，y，z）力F在三坐标轴的投影分别为X,Y,ZA(x,y,z)A(x,y,z)根据合力
5、矩定理，得Mz(F)=MO(Fxy)=MO(Fy)+MO(Fx)=xY－yX按相同方法可求得的其他两式，合并写成：Mx(F)=yZ－zYMy(F)=zX－xZMz(F)=xY－yXXYZXYZ力对点的矩和力对轴的矩的关系力对点的矩矢量可以写成：可得[MO(F)]x=Mx(F)[MO(F)]y=My(F)[MO(F)]z=Mz(F)MO(F)=[MO(F)]xi+[MO(F)]yj+[MO(F)]zk=(yZ－zY)i+(zX－xZ)j+(xY－yX)k而Mx(F)=yZ－zYMy(F)=zX－xZMz(F)=xY－yX结论：力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。力
6、对点O的矩的大小为力对点O的矩的方向余弦为图中力F的大小为10kN，求的力F在x、y、z三坐标轴的投影，以及对三坐标轴的矩和对O点的矩。(长度单位为m)Oxyz例5-1ijk解：1、先求F的三个方向余弦A(4,9,5)534FFF2、求力的投影3、求力对轴的矩OxyzijkA(4,9,5)534FFF已算得：（求力对轴的矩也可以先将力F分解为三个分力，再由合力矩定理分别求出力对轴的矩）4、求力F对O点的矩由MO(F)=Mxi+Myj+Mzk得：即手柄ABCE在平面Axy内，在D处作用一个力F，它垂直y轴，偏离铅垂线的角度为α，若CD=a，BC∥x轴，CE∥y轴，AB=BC=l。求力
7、F对x、y和z三轴的矩。例5-2CDEAxzyαFB显然，Fx=FsinαFz=Fcosα由合力矩定理可得：CDEAxzyαFB解法1将力F沿坐标轴分解为Fx和Fz。FxFzMx(F)=Mx(Fz)=-Fz(AB+CD)=-F(l+a)cosαMy(F)=My(Fz)=-Fz(BC)=-FlcosαMz(F)=Mz(Fx)=-Fx(AB+CD)=-F(l+a)sinαFxFzFxFz解法2直接套用力对轴之矩的解析表达式：力在x、y、z轴的投影为X=FsinαY=0Z=-FcosαCDEAxzyαFBFxFzMx(F)=yZ－zY=(l+a)(-Fcosα)-0=-F(l+a)cos
8、αMy(F)=zX－xZ=0-(-l)(-Fcosα)=-FlcosαMz(F)=xY－yX=0-(l+a)(Fsinα)=-F(l+a)sinα§5-2空间力系向一点简化——力系的主矢——力系对简化中心主矩OF3F1F2OF1,M1F2,M2F3,M3OR,MoO:简化中心R=F1+F2+F3;Mo=M1+M2+M3;结论空间任意力系向一点简化，可得一力和一个力偶。这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O；这个力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩。主矢与简化中心无关；主矩与简化中心的位置有关。空间力系的简化结果分析1、空间力系简化为一个合力偶主矢R’=0；主矩MO
9、≠0主矩与简化中心无关。2、空间力系简化为一个合力① 主矢R’≠0；主矩MO=0合力的作用线通过简化中心。②主矢R’≠0；主矩MO≠0且MO⊥R’取d=
10、MO
11、/ROOORMORdRR”R合力矩定理R=∑Fi，d=
12、MO
13、/R∵力偶（R，R’’）的矩MO等于R对O点的矩，即MO=MO(R)，而又有MO=∑MO(F)∴得关系式MO(R)=∑MO(F)即：空间任意力系的合力对于任意一点的矩等于各分力对同一点的矩的矢量和。将上式向任意轴投影（如z轴）得：Mz(R)=∑Mz(
