从双基到四基从两能到四能

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1、从双基到四基、从两能到四能史宁中东北师范大学，长春，130024一、传统与未来《数学课标》：双基→四基、两能→四能基础知识、基本技能+基本思想、基本活动经验分析问题、解决问题+发现问题、提出问题知识为本：单纯的双基（99年大纲）、专门人才育人为本：学生成长、认知规律如何教→如何学(有效教学、有效学习）；有效+兴趣→减负创新：基础知识+创新思维+创新经验。思维方法和经验：培养学科直观。结果是看出来的。思维方法的教育：数学思想+思维经验。二、基本活动经验会想问题：不是教出来的、是自己悟出来的；悟的方法就是自己思考、积累经验。物价调查：会整体规划、会把问题化简、

2、会抽象出问题的本质、会归纳出规律性的东西、会逻辑地表达自己的思考。三、数学的基本思想不是指数学思想方法：等量替换、数形结合、分类、递归、转换；配方法、换元法、加强不等式。数学产生与发展所依赖的思想学习数学以后具有的思维能力抽象：把与数学有关的知识引入数学内部；抽象能力强推理：促进数学内部的发展；推理能力强模型：沟通数学与外部世界的桥梁；应用能力强抽象：数量与数量关系的抽象；图形与图形关系的抽象。得到：研究问题的对象概念和对象之间的关系概念；运算方法和运算之间的运算法则。亚里士多德：数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉事物中那些感性的东西。对于数学而言，线

3、、角、或者其他的量的定义，不是作为存在而是作为关系。引出抽象的两个层次：直观描述，符号表达。数量的第一步抽象数量→数。2匹马、2头牛→2。数量的本质多与少→数的本质大与小→自然数：10个符号+位数加法：加一、万的产生加法→四则运算；逆运算→数域扩充；自然数→整数、有理数、实数。数量的第二步抽象符号意识：符号可以代表数、关系、规律、逻辑符号可以进行计算和论证（方程）通过符号得到的结论具有一般性（交换律）具体→一般凡是具体的都会存在反例（函数变量说）凡是一般的都会存在概念（函数对应说）解释微积分→定义极限运算→定义实数→定义无理数→重新定义有理数有理数：分数形

4、式→小数形式：有限+无限循环无理数：无限不循环小数实数≡有理数+无理数运算：√2·√3=√2·3？性质：连续？实数的加法：两个实数相加，如果符号相同，取相同的符号，和为两个实数绝对值的和；如果符号不同，取绝对值大的符号，和为大的绝对值减小的绝对值。图形的第一次抽象欧几里得《几何原本》描述定义：点、线、面、角关系术语：相交、平行、垂直、全等度量定义：长度、面积、体积、边角关系(三角函数、巴比伦)带来的问题点：两条直线交于一点？平行：两条永远不相交的直线？全等：两个图形重合？修改平行：过直线外一点可以有一条（欧几里得几何）无数（罗巴契夫几何）没有（黎曼几何）A

5、aa＇b赤道ONN北极出地与纬度之间的关系图形的第二次抽象希尔伯特《几何基础》：桌子、椅子、啤酒杯符号定义：A，a，α五组公理：两点决定一条直线；三点决定一个平面。本质是维数：0维点；1维线；2维面；3维体。高维看低维：直线、平面。推理：一种思维过程思维：形象思维、逻辑思维、辩证思维命题：可以进行判断的话语推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程命题+判断的四种形式：是是、是否、非是、非否逻辑推理：命题主词的内涵之间具有传递性有逻辑：凡人都有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死。无逻辑：苹果是酸的，酸是一种味道。所以苹果是一种味道。逻辑推理=演绎推理+归

6、纳推理演绎推理：从大到小，一般到特殊，结果必然；已知A求证B：不能发现新东西。归纳推理：从小到大，特殊到一般，结果或然；已知a推断A：归纳（代数）；已知A推断A+B：类比（几何）。归纳教学的例子：尝试。为得到公式a2–b2=(a-b)(a+b)首先进行化简，令b=1。变化a可以得到：22–1=4-1=332–1=9-1=842–1=16-1=1552–1=25-1=2462–1=36-1=35因为8=2×4，15=3×5，24=4×6，35=5×7，可以想到a2–1=(a-1)(a+1)，然后考虑一般的b。从自然数的前n项和公式出发，得到平方和、立方和公式

7、。模型：构建数学与外部世界的桥梁。数学的应用叙述的是一个用数学语言表达的实际故事。方程、不等式、函数、递推(时间序列)等是语言工具。比如，方程叙述的是量相等的故事。距离=速度×时间用数学语言定义概念。F=ma桥梁双方：数学+现实。流行病模型，投入产出模型各种场合：参数+约束。自由落体模型中的重力加速度四.统计基本思想统计学与数学有所不同。立论基础数学：公理、假设；统计：数据、模型。推理方法数学：演绎推理；统计：归纳推理。判断准则数学：对与错；统计：好与坏。一个袋子里有5个球，其中有4个白球和1个红球，让学生有放回地摸球。概率：验证出现白

8、球的可能性4/5。不可操作统计：不告诉学生背景，预测1.白球多