2013-2014(1)线性代数课程试卷a卷答案

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1、2013--2014第一学期线性代数课程试卷（期末）（A卷）参考答案与评分一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．设n阶方阵等价，则（C）（A）（B）（C）则必有（D）2.对矩阵，以下结论正确的是（B）（A）A的秩至少是4（B）A的列向量组线性相关（C）A的列向量组线性无关（D）A中存在4阶非零子式3．A是矩阵，R(A)=m

2、C)（A）f的秩为1（B）f的秩为2（C）f为正定二次型（D）f为负定二次型5.若三阶方阵A的三个特征值为1，2，-3,属于特征值1的特征向量为,属于特征值2的特征向量为，则向量（D）（A）是A的属于特征值1的特征向量（B）是A的属于特征值2的特征向量（C）是A的属于特征值-3的特征向量（D）不是A的特征向量二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6.在五阶行列式中的符号为__负____。7.设A是3×3矩阵，，把A按列分块为，其中是A的第j列，则。8.X和Y是中的任意两个非零向量，记，则矩阵A的秩是___

3、1___.9.若n元线性方程组有唯一解，且其系数矩阵的秩为r，则r与n的关系必为__r=n___.10.设向量空间，则的维数等于__2___。三、计算题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）11.设,求及的值。解：（3分）（3分）12．设，D的元的余子式为，计算的值。解：（2分）（4分）四、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）13.设，是三阶矩阵，且，求。解：（4分），且因为存在（2分）（2分）14.设，求。解：五、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）15.已知向量组，求：①此向量组的秩和一个极大线性

4、无关组。②将其余向量由该极大线性无关组线性表出。解：(4分)所以：是其一个极大线性无关组。（2分）（2分）16.n阶矩阵,其中是常数。试求A的特征值并判断A是否可对角化。解：（3分）（1）当时，由于，的基础解系有n-1个解向量，即特征值0有n-1个线性无关的特征向量。（2分）（2）当，由于即特征值有1个线性无关的特征向量。（2分）矩阵A共有n个线性无关的特征向量，所以矩阵A可以对角化。（1分）六、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）17.对向量组设计第三个向量，使得能构成的一个基需要满足的条件是什么？试写出

5、一个这样的。解：；（6分）如单位向量。（2分）若写成“线性无关”，可酌情给分。另，也可通过初等行变换得到。18.求解下列方程组，分析实数取何值时，方程组解无解、有唯一解或无穷解。并在有解时求出其解。解：（4分）（1）当时，方程组有无穷解为：（2分）（2）当时，方程组无解。（2分）七、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）19.已知向量组线性无关，A是一个n阶非奇异矩阵。证明：向量组线性无关。证明：令线性组合:（1分）由于A是一个n阶非奇异矩阵，所以存在。（1分）用左乘上式，得：（2分）再由于线性无关，所以：。

6、综上所述，线性无关。（1分）20.设是一n阶方阵，证明：存在一个n阶非零矩阵，使的充要条件是。证明：（1）若，将B列分块，得：，（1分）此即：，，，由于非零矩阵，说明齐次方程组AX=0有非零解，所以。（2分）或：，得出：，（1分）而非零矩阵，所以，所以。（2分）（2）若，则齐次方程组AX=0有无穷多解，（1分）选取n个非零解则，令即可达到要求。（1分）