高二数学圆的方程

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1、圆的方程一、内容归纳1.圆的方程(1)标准式：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，其中r为圆的半径，(a，b)为圆心。(3)直径式：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，其中点(x1，y1)，(x2，y2)是圆的一条直径的两个端点。（用向量法证之）(2)一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，其中圆心为，半径为.(4)半圆方程：(5)圆系方程：i)过圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线l：Ax+By+C=0的交点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0ii)过两圆C1：x2+y

2、2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)该方程不包括圆C2；(时为一条直线方程，相交两圆时为公共弦方程；两等圆时则为两圆的对称轴方程）(6)圆的参数方程圆心在(0,0),半径为r的圆的参数方程为为参数圆心在(a,b),半径为r的圆的参数方程为为参数2.圆的一般方程与二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的关系；二元二次方程表示圆的充要条件:A=C≠0，B=0，D2+E2-4AF>0。3.若圆(x-a)2+

3、(y-b)2=r2，那么点(x0,y0)在4.直线与圆的位置关系直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交。有两种判断方法：(1)代数法（判别式法）(2)几何法，圆心到直线的距离一般宜用几何法。5.弦长与切线方程，切线长的求法(1)弦长求法一般采用几何法：弦心距d，圆半径r，弦长l，则(2)圆的切线方程：若点在圆上，则过点P的切线方程为若点在圆上，则过点P的切线方程为若点在圆上，则过点P的切线方程为(3)切线长过圆外一点引圆：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)或(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的切线,则切线长：6.圆与圆的位置关

4、系二、学习方法指导例1当曲线与直线y＝k(x－2)＋4有两个相异交点时，实数k的取值范围是()A．B．C．D．圆心(0，1)到直线PC的距离等于半径2，即解析：曲线是以(0，1)为圆心2为半径的半圆，∴，直线PA的斜率所以实数k的范围为，故选C．直线y＝k(x－2)＋4是过定点(2，4)的直线(如图所示)．，切线PC的方程为设切线PC的斜率为例2求圆上的点到x－y＋2＝0的最近、最远距离。思路分析：由于圆是一个对称图形，依其对称性，圆上的点到直线的最近之距为圆心到直线的最近距离减去半径，将本题转化为圆心到直线距离的问题．解：由圆的方程易知圆心坐标为(2，－

5、3)，半径r＝2．∵(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离为∴圆上的点到直线的最远距离为，最近距离为例3过已知点(3，0)的直线l与圆相交于P、Q两点，且OP⊥OQ(其中O原点)，求直线l的方程．思路分析：OP⊥OQ，若设，则，由P、Q均在圆及直线上，可借助方程求解．解：设直线l的方程为x＋ay－3＝0，则点的坐标满足方程组消去y得∴①由方程组消去x，得②依题意知OP⊥OQ，∴，即由①②知，得解得a＝2或a＝4．所求直线l的方程为x＋2y－3＝0或x＋4y－3＝0说明：本题巧用根与系数的关系，列出进而求得方程，另外，在设方程时，设过(3，0)的的直线方程x

6、＋ay－3＝0可避免讨论。例4求过P(5，－3)，Q(0，6)两点，且圆心在直线2x－3y－6＝0上的圆的方程．思路分析：可依据不同的条件，选择恰当的形式，但是要注意圆的有关几何性质的运用．解法1：设所求圆的方程为则解得a＝19，故所求圆的方程为解法2：设所求圆的方程为则它的圆心是由已知条件可得解得D＝－38，，F＝92故所求圆的方程为解法3：∵PQ的中点为，且设圆心为C，则∴直线AC的方程为，即5x－9y＋1＝0．解方程组则圆心的坐标为圆的半径为故所求圆的方程为说明：已知三个独立条件求圆方程，一般是用待定系数法，解法1是求出a、b、r，解法2是求出D、E

7、、F，而解法3是应用“圆的弦的垂直平分线一定通过圆心”这一定理求得．例5求圆心在直线x－y－４＝0上，并且经过两圆和的交点的圆的方程．：：思路分析：求经过两圆交点的圆，可利用圆系方程求解．解：设所求圆的方程为即①∵圆心在直线x－y－４＝0上．∴，得，代入①得例6求经过A(4，－1)且与已知圆C：切于B(1，2)的圆的方程．思路分析：可以用直接法求解，所求圆的圆心在AB的垂直平分线上，也在BC上．便可以求出圆心坐标，再用两点间的距离求出半径，最后写出圆的方程．解：线段AB的垂直平分线方程为x－y－2＝0，已知圆的标准方程为∴已知圆的圆心为C(－1，3)，则直

8、线BC的方程为x＋2y－5＝0，解方程组得即所求圆的圆心为，求得则