投资学专题7金融衍生产品定价

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1、投资学专题7：金融衍生产品定价复旦大学金融研究院张宗新outline资产价格运动的随机过程二叉树模型及其在衍生产品定价中的应用Black-Scholes期权定价模型在衍生产品定价中的应用MonteCarlo模拟在衍生产品定价中的应用第一节资产价格运动的随机过程金融资产价格的运动随时间变化，形成一个随机过程。随机过程是用来描述随机变量随着时间变化的统计术语。观测到的价格是随机过程的一个实现，随机过程的理论是对观测到的价格进行分析和作出统计推断的基础。资产价格波动的随机过程一、Wiener过程或Brownian运动1、维纳过程（WienerProcesses）股价行为模型通常用维纳过程来表

2、达。理解遵循维纳过程的变量z的行为，可以考虑在小时间间隔上变量z值的变化。设一个小的时间间隔长度为△t,定义为在△t时间内z的变化。要使z遵循维纳过程，△z必须满足两个基本性质：性质1：△z与△t的关系满足方程式其中为从标准正态分布N（0，1）中抽取的一个随机值。性质2：对于任何两个不同时间间隔△t,△z的值相互独立。2、广义维纳过程（GeneralizedWienerProcess）变量x的广义维纳过程用dz定义如下：dx=adt+bdz其中a和b为常数。理解方程较好的方法是分别考虑方程右边的两个组成部分。adt项说明了x变量单位时间的漂移率期望值为a。如果缺省bdz项，方程变为dx

3、=adtdx/dt=a即x=x0+at维纳过程内幕交易概率预测模型示意图《管理世界》2008.4二、Ito（伊藤）引理一般维纳过程的漂移参数和波动率参数都是不随时间变化的。如果进一步扩展模型，允许和是随机过程的函数，那么我们就可以引出一个伊藤过程。伊藤过程，是指如下随机过程：其中，是一个标准布朗运动，、是变量x和t的函数。为表述伊藤引理，将资产的随机过程表述为如下方程：也就是说，用漂移率和波动率的伊藤过程表示资产价格的动态。在时间间隔为后，资产价格的变化比率为：可见，也具有正态分布特征，其均值为，标准差为，方差为。资产价格运动的随机过程三、漂移参数和波动率参数的估计上述方程的几何布朗运

4、动中有两个未知参数和可以用经验方法进行估计。假定我们有股价在等时间间隔上的个观测值，观测到的股价序列，其中。令，存在，其中为第t个时间间隔上的连续复合收益率。根据Ito引理，并且假定股价服从一个几何布朗运动，我们得到服从均值为，方差为的正态分布。第二节二叉树模型及其在衍生产品定价中的应用一、二叉树模型（BinomialTreeModel）二叉树期权定价模型假定，在每一期股票价格可以沿两个方向——向上或向下——中的任何一个方向变动。因此，可以将将时间T分为很多小的时间间隔,在一个时间间隔内证券价格价格只有两种运动可能：从开始的S上升到原来的u倍，即Su；或下降到原来的d倍，其中u>1，d

5、<1(一般假定)。也就是说，股价上升或下降分别用u和d表示，而在每一个,股票价格变化由S到Su或Sd.若价格上扬的概率为p,那么下跌的概率为q=1-p。S0p1-puS0dS0二叉树模型及其在衍生产品定价中的应用二、二叉树期权定价模型二项式期权定价模型(BinomialOptionPricingModel，简称BOPM)是对期权进行估价方法，它是通过统计中的二项分布，假定只有两种可能结果而推算出来的。下面，我们可以分六步骤对看涨期权的二项式期权定价模型进行分析：第一步：分析股价的未来可能运动形态;第二步：列出期权的价格分布;第三步：构建对冲投资组合;第四步：对保值比率进行求解;第五步：

6、用净现值法（NPV）解出买入期权的价格;第六步，将单期扩展之多期。假定不支付红利股票的的3个月期的美式看跌期权，股票价格15元，执行价格15元，无风险利率为3%，波动率为50%。即：S=15，X=15，r=0.03，=0.5，T=0.25。为构造二叉树，假定到期期限分为4个阶段，每段长度=0.25/4=0.0625。二叉树模型及其在衍生产品定价中的应用三、二叉树模型在可转债定价中的应用可转债的二叉树定价步骤如下：第一步，先计算出对应股票的二叉树节点上的数值。利用股价的历史数据（一般利用过去3个月或者半年的股价数据）估计出股票的波动率，然后计算出二叉树的几个重要参数。其中，t，T分别指的

7、是可转债的初始和期末时刻，为无风险利率，使用这些参数就可以推出股票的价格树图。第二步，通过可转债的相关条件来递推价格树中各个节点的可转债的价格。二叉树模型及其在衍生产品定价中的应用应用二叉树模型，Matlab程序对西钢转债进行拟合。第三节Black-Scholes期权定价模型在衍生产品一、Black-Scholes期权定价模型1973年，美国芝加哥大学教授费希尔·布莱克和迈伦·斯科尔斯提出了有史以来的第一个期权定价模型，即布莱克-斯科尔期权定价