金融衍生产品的定价综述

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1、金融衍生产品定价模型综述蒲实（重庆大学数学与统计学院2008级统计2班）一．摘要衍生证券已经有很长的历史。期权和期货是所有衍生证券里在交易所交易最活跃的衍生证券。十七世纪晚期，在荷兰的Amsterdam股票交易所，就已经有了期权这种形式的证券交易。1973年建立的ChicagoBoardOptionsExchange(CBOE)大大带动了期权的交易。19世纪出现有组织的期货市场。期权定价理论是最成熟也是最重要的衍生证券定价理论。最早的期权定价理论可以追溯到1900年Bachelier(1900)的博士论文，Bachelier的主要贡献在于：发展了连续时间游走过程。受Louis

2、Bachelier工作的启发，KiyoshiItô在二十世纪四、五十年代作出了随机分析方面奠基性的工作，这套理论随即成为金融学最本质的数学工具，也带来了衍生证券定价理论革命性的飞跃。但是，风险中性定价的概念直到Black-Scholes（1973）和Merton（1973）才得以突破。他们的工作使随机分析和经济学达到了最优美的结合，也给金融实际操作带来了最具有影响力的冲击。由于许多权益都可以被视为偶发性权益（例如债务，股权，保险等），所以在他们以后，期权定价的技巧被广泛的应用到许多金融领域和非金融领域，包括各种衍生证券定价、公司投资决策等。我们可以把这些研究大致分为：复杂衍生

3、证券的定价（例如MBS，奇异期权等）；数值计算（例如美式期权定价，亚式期权）；拓展模型来解释Black-Scholes模型不能解释的现象（例如Volatilitysmile）；交易约束和交易成本对衍生证券套期保值和定价的影响。二．关键词金融衍生产品，维纳过程(wienerProcesses)，Ito(伊藤)引理，随机过程，布朗运功，套期保值，鞅过程。三．正文1．二项树模型该模型由Sharpe（1978）提出，Cox,RossandRubinstein（1979）对它进行了拓展，将二项分布用于描述股价运动，从此二叉树模型被广泛运用于衍生品的定价，成为构造离散时间价格运动的基本模

4、型。定义如下：=标的资产现在的价格；=标的资产上涨的概率；=无风险利率；=标的资产上涨的幅度；=标的资产下跌的幅度；=衍生证券现在的价格；=当标的资产价格为时衍生物的价格；=当标的资产价格为时衍生物的价格对的限制为我们构造无风险套期保值证券组合：以价格买一份股票，买份以股票为标的物的衍生证券（称为套期保值比率）。如果这个套期保值证券组合在每种状态下的到期支付都相等，则这个证券组合是无风险的。得到：解得衍生证券的份数：因为套期保值证券组合是无风险的，它的终端支付应该等于它的现价乘以即：从这个式子得出衍生证券的价格：把套期保值比率代入得：设则从而，我们得到：这里定义的总是大于0而

5、小于1，具有概率的性质，我们称之为套期保值概率。从的定义可以看出，无套利条件成立当且仅当大于0而小于1（即，是概率），所以，在金融学里，我们又把称为等价鞅测度。这儿所说的正是金融学的一个重要定理：无套利等价于存在等价鞅测度。我们也可从另外一个角度来解释的意义：是当市场达到均衡时，风险中性者所认为的值，即，股票价格上涨的概率。作为风险中性者，投资者仅仅需要投资在风险股票上的回报率为无风险利率，因此，我们有：从中解出值，得到：所以，对一个风险中性者来说，=，而衍生证券的价格可以解释为，在一个风险中性环境中，衍生证券的期望终端支付的折现值。在求得衍生证券价格的过程中，有两点是至关重

6、要的，一是套期保值证券组合的存在性；二是无风险的套期保值证券组合的的回报率为无风险利率。无套利定价原理很容易推广到多期二项树股票价格过程。Cox,RossandRubinstein（1979）证明，当二项树模型中每期的时间趋于0时，股票价格依分布收敛于对数状态扩散过程，而期权价格公式收敛于Black-Scholes-Merton定价公式。2．Black-Scholes-Merton模型BlackandScholes(1973)和Merton(1973)利用随机分析这种强有力的方法，第一次对期权定价问题提出了严格的解。标的股票的价格服从如下的随机微分方程,为常数，称为漂移项，可

7、以视为股票的瞬时期望回报率，为常数，称为扩散项，可以视为股票的瞬时标准差，为标准布朗运动，为常数。无风险债券的价格服从如下的方程（、为常数）对于给定的欧式看涨期权，由于它的到期日支付是标的股票的函数，我们假设期权的价格为标的股票价格的函数这里，我们并不知道函数的具体形式，只知道它在是两次连续可微的。对函数利用Itô引理，我们得到,这里，下面，我们利用套期保值的思想，希望通过股票和债券构造证券组合来模拟欧式看涨期权的价格。假设自融资交易策略=满足此要求，这里，表示在时间购买的股票份数，表示在时间购买的债券