弹簧质量对振荡周期的影响之探讨

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1、彈簧質量對振盪週期的影響之探討壹、研究背景與目的：有一次，我在明道中學的書展中，發現一本「奧林匹克物理實驗」的書〔註一〕，覺得很不錯，就把它買回來仔細閱讀。其中有一個實驗為「氣墊軌上的實驗知識—簡諧運動」，書上說：「當彈簧質量m不可忽略時，則彈簧的振盪週期並不是而是」。這與我以前看過的科學方面的書所講的不同，因而引起了我的興趣。和理化老師討論後，老師鼓勵我們去多方面收集相關的資料，並親自動手做實驗來驗證。貳、實驗儀器與裝置：1.光電計時器及其支架2.各種彈簧3.各種砝碼（1）有掛勾的×1（2）無掛勾的×64.鐵架（底座、支棒及短鐵棒）5.米尺6.電子天平7.

2、膠帶8.廣用夾9.水平儀圖一實驗裝置圖參、理論基礎與文獻探討：任何運動只要能在規律的時段裡重現，就稱為週期運動。而有些週期運動，物體只是在一線上之兩點間來回運動，此種週期運動我們稱之為振盪。若振盪過程中無任何能量損失，此種振盪稱為簡諧振盪。有能量損失之振盪，則稱為阻尼振盪。因此，若將一物體懸在一彈簧上做上下或水平運動，也是屬於一種週期性的振盪運動。亦即若將一質量為Ｍ的物體，懸吊於一彈簧上，彈簧之質量為ｍ，彈性係數為ｋ的彈簧下端，且假設在摩擦力及空氣阻力均可忽略的情況下，將彈簧拉離平衡位置後釋放，則質量Ｍ之物體的運動就是簡諧振盪。而其振盪週期如下：（1）若彈簧

3、質量可忽略，則質量Ｍ之物體的運動方程式為17即所以該物體的振盪週期。[註二]（1）若彈簧質量ｍ相對於物體的質量Ｍ不可忽略，則物體的振盪週期[註三]………………（1）此公式推導如下：總動能總能定值因為所以得到此為簡諧運動方程式由於此式成立的條件是物體在振盪時不可伴隨轉動，而我們所用的彈簧是螺旋狀的，一定會使物體產生轉動，故在真實情況的條件中，物體的振盪週期是否大約符合（1）式，則必須做較精密的測量，方能得到正確的答案。在我們由圖書館或網路上所收集的資料中，知道師大附中曾經做過此實驗，但他們得到的結果卻是[註四][註五]17及與理論值比較有顯著的誤差。但我們從他

4、們的資料中卻也發現，他們的作法中有許多地方可加以改進，例如：（1）物體的質量Ｍ遠大於彈簧的質量ｍ（2）使用氣墊軌道裝置，容易造成氣體的阻力和摩擦（3）數據處理的方法亦應修改。因此，我們認為對此問題有必要做更深入的探討。壹、實驗步驟與數據分析方法：針對以上三項缺點，我們重新改進實驗裝置，並以直線回歸方法作數據分析，重新對公式（1）之正確性作實驗驗證，其實驗步驟與數據分析方法如下：一.實驗步驟：1.測量彈簧與砝碼的重量並記下來。2.以水平儀將鐵架調整到垂直實驗桌。3.將彈簧、米尺固定於鐵架上如圖一所示。4.紀錄彈簧原長度。5.彈簧下方掛上砝碼，紀錄彈簧的長度變化

5、。6.將砝碼沿鉛錘方向下拉小距離d（此距離必須小於彈簧掛砝碼後的伸長量）後鬆開，使砝碼作小幅上下簡諧振盪。7.以光電計時器測量振盪20次週期8.改變不同質量砝碼重複步驟5~7。9.改變不同彈簧重複步驟1~8。二.數據分析方法：1.利用實驗數據將20次週期之平均（T）求出2.利用公式，式中F為彈簧所受外力，即為砝碼質量（M）乘以重力常數F=Mg。在將一組外力與彈簧伸長量作直線回歸分析，求出彈簧之彈力常數k。（在此所帶入的重力加速度常數為9.76m/s2，此結果為本校學長於上次科展以單擺測出實驗室所在位置的g值）3.運用公式平方後得到，令a＝，b＝，則上式可表為

6、。4.最後再利用一組和M作直線回歸分析，利用斜率和截距得出各組彈簧的a和b，請參考下圖二。17T2=4.2413M+0.01935.利用各彈簧的b/a與彈簧質量m描點作圖，尋求b/a與m關係曲線斜率。並與理論值1/3相比較，且求出其百分誤差。圖二17壹、數據分析與討論：一、彈簧甲的數據分析1.求出彈簧甲之彈力常數k值(1)彈簧甲質量：0.01514kg彈簧甲之F—x數據砝碼質量（kg）外力（N）指針刻度（m）指針刻度平均值（m）總伸長量x（m）000.66600.666000.66600.023580.230140.68500.68500.01900.685

7、00.033580.327740.69550.69550.02950.69550.043570.425240.70550.70580.03980.70600.053620.523330.71600.71630.05030.71650.063580.620540.72650.72680.06080.72700.073840.720680.73750.73730.07130.73710.083800.817890.74800.74800.08200.7480(2)利用直線回歸分析求出k值F=9.3473x+0.0527彈簧甲之彈力常數k=9.3337N/m171

8、.求出彈簧甲之中之a、b(1)彈簧甲T2－M數據砝碼