弹簧质量对振动系统的影响

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1、弹簧质量对振动系统的影响目录1前12振动系统的动能和势能22.1弹簧振动系统的动能分析概况22.2弹簧振动系统势能分析概况42.3弹簧振动系统的机械能52.3.1弹簧振子放置水平位置（0=0）弹簧振动系统的机械能52.3.2弹簧振子放置竖直位置=兀m弹簧振动系统的机械能62.3.3弹簧振子放置倾斜程度为0位置（0<~<;r/2）弹簧振动系统的机械能63弹簧质量对振动周期的影响73.1机械能守恒近似法研究弹簧质量对振动周期的影响73.2迭代法研究弹簧质量对振动周期的影响93.3弹簧质量对振动周期影响的分析11致谢错误!未定义书签。#教献121前言弹簧振动作为&然界屮最普遍的最广泛的运动形式之一，

2、在物理学的基础理论研究中同样是具奋显著地位,正确理解并掌握其振动系统的客观规律对于今后深入研究并掌握自然界的普遍运动规律只有非常重要的理论上的意义和实践中的意义。作为自然界弹簧系统振动形式中最简单的抽象化的物理模型一简谐振子,它由质量为m的振子和弹簧弹性系数为々的无质量的理想的弹簧所组成，则其弹簧振动系统的周期为：T=27Ty[m/~k简谐振子实际上是一个理想化的抽象化的物理模型，实际上弹簧的自身质量m。相比振子的质量m来说未必可以忽略不计,而一旦忽略了弹簧质量的影响，就必定会造成理论上计算值与实际测量值之间的不吻合，并且这种差异并非属于随机简单的计算误差，而是具有明显的系统误差性质，必要时还

3、是应予以修正的。在实验中得到的弹簧振子的振动周期和理论结果存在着这些的差异，其中原因可能有很多，但主要是由于弹簧的质量对振动存在一定的影响；一般人们在讨论弹簧振子的振动情况时，通常不考虑弹簧的质量影响，而按照理想状态处理。但是在实际情况下，弹簧质量还是对弹簧振子的振动系统有一定的影响，而作为弹簧系统振动周期的一级近似，可以将弹簧质量m。的三分之一有效质量加到振子的质量m上去，从而将弹簧质量为、振子质量力m的实际弹簧振动系统等效看作是一个具有质量为m+%/3的理想质量的弹簧振动系统,弹簧系统的振动周期为：为解决实际弹簧振子弹簧质量对振动系统的影响问题，采用研允系统的能量方法，建立丫有弹簧质量时系

4、统的动能和势能公式，从不同角度定量的分析研究丫弹簧质量对振动系统影响，并且结合运用机械能守恒定律和迭代法分别近似求解实际弹簧振子的周期，并对结果做岀详细的讨论，该结论对于研究实际弹簧振动系统的振动问题只有一定的参考价值和指导意义。2振动系统的动能和势能通常用弹簧振子来研宄简谐振动问题，用到轻弹簧+31，这里考虑到弹簧质量，系统振动时弹簧不仅具有振动动能，而且弹簧在某一位置还具有重力势能。下而就从振动系统的能量开始，按弹簧的动能与势能分两部分来研究，再对弹簧振动系统的机械能概括总结，同时也是针对其质量对整个弹簧系统振动状态的影响。2.1弹簧振动系统的动能分析概况弹簧振子按照如下图2.1放置在一个

5、光滑的倾斜程度为0斜而上，弹性系数为々，弹簧的原长为L,达到平衡位置吋弹簧伸长量％,物体的质量为m,弹簧的质量为m。。图2.1弹簧振子Figure2.1springoscillator因为弹簧振子中的弹簧质量为m(,，弹性系数为A，振子质量为m,若弹簧的振动方程为：x=Acos(^+^)(2.1)那么弹簧振子在运动过程中其速度就可以通过求导来得到，那么对(2.1)式进行求导可得弹簧振子任意时刻的速度v为：dx~dt(2.2)因为考虑到弹簧的质量，所以振动系统的动能是由两部分组成，即振子的动能与弹费动能之和，即：Ek=E^Et根据动能的表达式：+v卜去膽（砂”）(23)其中£kI为振子的动能为：

6、Al而£k2则为弹簣的振动动能，如上图图2.1所示，设弹簧总共绕匝数为/V匝，任意W的振幅力：(2.4)A=1——NL+x+x()L+x+x()由于与振子的振动频率相同且和一致的，所以弹簧的振动方程为X=Al.cos(6yz+炉)L+x+x0(2.5)所以弹簧的任意时刻的速度/为:dX~dtAlcoA+x+x0sin(^yr+cp)(2.6)因此弹簧的振动动能为:d£k2m{]dl/2Al2(L+x+x())£+jc+x0co(2.7)又sin2(6wr+炉)=2(L+x+x0);l2dl而v=-A6Jsin（似+0为振子的振动速度所以在弹簧系统中弹簧本身的动能为:2-."V2(L+x+x0

7、)Vdlmov(2.8)如图图2.1，己知弹簧放在光滑的倾斜程度为0（0^%沒/2）斜而上，所以综上所述考虑了弹簧质量的振动系统的总动能为:Ek=Ekl+Ek2=1,1,—mv^+—"w26(2.9)2.2弹簧振动系统势能分析概况弹簧振子按照如图图2.2,放置在一光滑的斜面上，图2.2中弹簧水平放置时原长为L,当系统达到平衡位置时，弹簧系统中弹簧仲长量为x()。坐标原点、弹簧弹性势能以及重力势能零