圆锥曲线之对称问题.docx

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1、圆锥曲线之对称问题包括两种情形:①、中心对称问题:常利用中点坐标公式求解;②、轴对称问题:主要抓住以下两个条件去处理-----➊垂直,即已知点与对称点的连线与对称轴垂直;➋中点,即连结已知点和对称点的线段的中点在对称轴上1.(本小题满分分)设是椭圆上不关于坐标轴对称的两个点,直线交轴于点(与点不重合),为坐标原点.(I)如果点是椭圆的右焦点,线段的中点在轴上,求直线的方程;(II)设为轴上一点,且,直线与椭圆的另外一个交点为,证明:点与点关于轴对称.2.在平面直角坐标系中,动点到定点的距离比点到轴的距离大,设动点的轨迹为曲线,直线交曲线于两点,是线段的中点,

2、过点作轴的垂线交曲线于点.(Ⅰ)求曲线的方程;(Ⅱ)证明:曲线在点处的切线与平行;(Ⅲ)若曲线上存在关于直线对称的两点,求的取值范围.解析1.(本小题满分14分)(Ⅰ)解:椭圆W的右焦点为,………………1分因为线段的中点在y轴上,所以点的横坐标为,因为点在椭圆W上,将代入椭圆W的方程,得点的坐标为.………………3分所以直线(即)的方程为或.……………5分(Ⅱ)证明:设点关于轴的对称点为(在椭圆W上),要证点与点关于轴对称,只要证点与点C重合,.又因为直线与椭圆W的交点为C(与点不重合),所以只要证明点,,三点共线.………………7分以下给出证明:由题意,设直线

3、的方程为,,,则.由得,………………9分所以,,.………………10分在中,令,得点的坐标为,由,得点的坐标为,………………11分设直线,的斜率分别为,,则,………12分因为,………………13分所以,所以点,,三点共线,即点与点关于轴对称.………………14分2.19.(共13分)(Ⅰ)解:由已知,动点到定点的距离与动点到直线的距离相等.由抛物线定义可知,动点的轨迹为以为焦点,直线为准线的抛物线.所以曲线的方程为.………………3分(Ⅱ)证明:设,.由得.所以,.设,则.因为轴,所以点的横坐标为.由,可得所以当时,.所以曲线在点处的切线斜率为,与直线平行.…………

4、8分(Ⅲ)解:由已知,.设直线的垂线为:.代入,可得(*)若存在两点关于直线对称,则,又在上,所以,.由方程(*)有两个不等实根所以,即所以,解得或.………………13分

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