圆锥曲线对称问题.doc

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1、圆锥曲线的对称问题问题1：点P(x，y)、P′(x′，y′)关于点Q(x0，y0)对称，那么它们的坐标应满足什么条件？Q点是P与P′的中点，即满足问题2：P(x，y)，P′(x′，y′)关于原点对称，那么它们的坐标满足什么条件？P和P′的中点是原点．即x=-x′且y=-y′．问题3：若P和P′关于x轴对称，它们的坐标又怎样呢？x=x′且y=-y′．问题4：若P和P′关于y轴对称，它们的坐标有什么关系？y=y′且x=-x′．问：若P和P′关于直线y=x对称，它们的坐标又会怎样？y=x′且x=y′．问题5：双曲线与的位置如何？它们关于直线y=x对称．问题6：若P与P′关于直线Ax+By+C=0对

2、称，它们在位置上有什么特征？P和P′必须在直线Ax+By+C=0的两侧且与直线垂直就能对称,及P和P′到直线Ax+By+C=0的距离相等问题7：P与P′到直线Ax+By+C=0的距离相等的含义是什么？就是P与P′的中点落在直线Ax+By+C=0上，换句话说P与P′的中点坐标满足直线方程Ax+By+C=0．问题8：两点P(x，y)、P′(x′，y′)关于直线Ax+By+C=0对称应满足的条件？应满足两个条件．第一个条件是PP′的连线垂直于直线Ax+By+C=0，第二个条件是P，P′的中点应落在直线Ax+By+C=0上．这两个条件能否用方程表示：方程组：方程组中含有x′，y′，也可认为这是一个含

3、x′，y′的二元一次方程组．换句话说，给定一个点P(x，y)和一条定直线Ax+By+C=0，可以求出P点关于直线Ax+By+C=0的对称点P′(x′，y′)的坐标．今后有很多有关对称问题都可以用此方法处理，很有代表性．但也还有其他方法，大家一起看下面的例题．例1 已知直线和关于直线2x-2y+1=0对称(如图2-73)，若的方程是3x-2y+1=0，求的方程．(选题目的：熟悉对称直线方程)先求出已知两直线的交点，设的斜率为，由两条直线的夹角公式可求出，再用点斜式求得的方程．解：由得交点(0，)，设的斜率为，由两直线的夹角公式得：∴=由点斜式，l2的方程为4x-6y+3=0．另解：在直线上任取

4、一点，求出这点关于2x-2y+1=0对称的点，然后再利用交点，两点式可求出的直线方程。解 由方程组：得交点(0，)，在直线上任取一点P(1,2)，找P关于2－2+1=0的对称点P′(′，′)，如图。从得。∴P′（，）由直线2－2＋1＝0与的交点（0，）得直线的方程：4－6＋3＝0另解：在上任取一点P(，)，则P点关于2x-2y+1=0对称的点P′(x′，y′)在上，列出P，P′的方程组，解出x′，y′，代入问题就解决了．解 设P(x，y)为上的任意一点，则P点关于直线2x-2y+1=0对称，点P′(x′，y′)在上(如图2-75)，∵得：又因为P′(x′，y′)在直线：3x-2y+1=0上，

5、所以3·x′-2y′+1=0．∴∴的方程为：4x-6y+3=0．问题9：如果把改为曲线，怎样求曲线关于一条直线对称的曲线方程呢？引申：已知曲线C：y=x2，求它关于直线x-y-2=0对称的曲线方程．可先在y=x2上任取一点P0(x0，y0)，它关于直线的对称点P′(x1，y1)，可得它们的交点，从中解出x0，y0代入曲线y=x2即可(如图2-76)．解 设P0(x0，y0)是曲线C：y=x2上任意一点，它关于直线x-y-2=0对称的点为P′(x1，y1)，因此，连结P0(x0，y0)和P′(x1，y1)两点的直线方程为y-y0=-(x-x0)．由得交点由中点坐标得：＝－2，＝＋2，代入曲线C

6、得：－2＝(＋2)，于是可知所求的对称曲线方程是：=+4+6解法二：设M(x，y)为所求的曲线上任一点，M0(x0，y0)是M关于直线x-y-2=0对称的点，所以M0定在曲线C：y=x2上．∴得代入C的方程可得=+4+6例2已知点A(0,2)和圆C：(-6)+(-4)=，一条光线从A点出发射到轴上后，沿圆的切线方向反射，求这条光线从A点到切点所经过的路程．(如图2-77)解 已知点A关于x轴的对称点为A′(0，-2)，所求的路程即为

7、A′D

8、。在Rt△A′CD中，

9、A′D

10、=

11、A′C

12、-

13、CD

14、。∴

15、A′D

16、==光线从A点到切点所经过的路：

17、AM

18、+

19、MD

20、=。变式1：若已知A(0，2)，D

21、(4，1)两定点，在x轴上求一点P，使得

22、AP

23、+

24、PD

25、为最短．先过A(0，2)关于x轴的对称点A′(0，-2)，连结A′D与x轴相交于点P，P为所求(如图2-78)．因为A，A′关于x轴对称，所以

26、AP

27、=

28、A′P

29、，这时

30、AP

31、+

32、PD

33、=

34、A′D

35、为线段，当P点在x轴其他位置上时，如在P′处，那么，连结AP′、A′P′和P′D．这时

36、AP′

37、+

38、P′D

39、=

40、A′P

41、+

42、P′D

43、＞

44、A′D

45、．理由(三角