专题51 圆锥曲线中的对称问题(解析版).doc

《专题51 圆锥曲线中的对称问题(解析版).doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、【高考地位】在直线与圆锥曲线的位置关系中，常出现这样一类问题：一个圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，求方程中参数的范围.这类问题涉及的知识面广，解题灵活性大，是高考中的一个热点和难点.因此，掌握这类问题的解法是必要的和重要的.【方法点评】方法一判别式法使用情景：圆锥曲线中存在点关于直线对称问题解题模板：第一步假设这样的对称点A、B存在，利用对称中的垂直关系设出两点A、B所在的直线方程；第二步联立AB所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C的坐标；第三步把C的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式；第四步利用联立后方程的△求出其中需求参

2、数的范围.例1.已知椭圆C：3x2＋4y2=12,试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x＋m，椭圆C上有不同两点关于这条直线对称.解得：－

3、存在，求a的取值范围.【解析】（1）设，则由，得.解得，　或.∵，∴，得，故.（3）设为抛物线上关于直线OB对称的两点，则：，　整理得：，即为方程的两个相异实根.于是由，得.故当时，抛物线上总有关于直线OB对称的两点.【点拨】关于直线的对称圆的半径不变，只有圆心不同，所以欲求对称圆方程，只需求其圆心，即已知圆圆心的关于直线的对称点即可；若曲线上存在关于直线OB的对称两点，则该两点的连线与曲线有两相异交点，即判别式大于零，由此即可求出a的取值范围.【变式演练1】在抛物线上恒有两点关于直线对称，求的取值范围．【变式演练2】求证：抛物线=－

4、1上不存在关于直线=对称的两点。证明 如图2-83，若P、Q两点关于y=x对称，可设P(、)、Q(，)且≠，、∈R，则：两式相减得：+=－2，=－2－，再代入前一式得+2+2=0，其判别式△=4－8<0。所以R这与题设矛盾。∴PQ两点不存在。方法二点差法使用情景：圆锥曲线中存在点关于直线对称问题解题模板：第一步设出两点和中点坐标（x，y）；第二步用“点差法”根据垂直关系求出x，y满足的关系式；第三步联立直线方程，求出交点，即中点；第四步由中点位置及对应范围求出参数取值范围.例3、若抛物线y=-1上总存在关于直线x+y=0对称的两点，

5、求a的范围．解析：如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上关于直线x=-对称的两点，则AB的方程可设为=+。解法二：曲线y=-1关于直线x+y=0对称曲线方程为：-x=ay2-1，解方程组：∵+≠0∴=－，代入=－1得关于的二次方程：，由△>0得>。点评：这种方法巧之处在于利用抛物线方程的一次式设点，利用斜率和中点关系求出两根之和、两根之积，构造方程，利用△求出参数范围.当然，不管是两种解法还是针对抛物线的特殊法，都无非紧紧抓住两点关于直线对称所产生的垂直及中点问题，不过在有关范围关系式的产生上有差别.【变式演练3】如图倾

6、斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点．（Ⅰ）求抛物线的焦点的坐标及准线的方程；（Ⅱ）若为锐角，作线段的垂直平分线交轴于点，证明为定值，并求此定值．（II）解法一：作，，[来源:学&科&网Z&X&X&K]垂足分别为，则由抛物线的定义知，．记的横坐标分别为，，则，解得．类似地有，解得．记直线与的交点为，则．所以．故．【高考再现】1.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线，抛物线（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①

7、求证：线段PQ的中点坐标为；②求p的取值范围.【答案】（1）（2）①详见解析，②（2）设，线段PQ的中点因为点P和Q关于直线对称，所以直线垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为，则可设其方程为①由消去得因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以从而，化简得.方程（*）的两根为，从而因为在直线上，所以因此，线段PQ的中点坐标为②因为在直线上所以，即由①知，于是，所以因此的取值范围为考点：直线与抛物线位置关系【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：(1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的

8、范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用基本不等式求出参数的取值范围；(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围