圆锥曲线之对称问题.docx

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1、圆锥曲线之对称问题包括两种情形：①、中心对称问题：常利用中点坐标公式求解；②、轴对称问题：主要抓住以下两个条件去处理-----➊垂直，即已知点与对称点的连线与对称轴垂直；➋中点，即连结已知点和对称点的线段的中点在对称轴上1．（本小题满分分）设是椭圆上不关于坐标轴对称的两个点，直线交轴于点（与点不重合），为坐标原点．（I）如果点是椭圆的右焦点，线段的中点在轴上，求直线的方程；（II）设为轴上一点，且，直线与椭圆的另外一个交点为，证明：点与点关于轴对称．2.在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比点到轴的距离大，设动点的轨迹为曲线，直线交曲线于两点，是线段的中点，

2、过点作轴的垂线交曲线于点．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）证明：曲线在点处的切线与平行；（Ⅲ）若曲线上存在关于直线对称的两点，求的取值范围．解析1.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：椭圆W的右焦点为，………………1分因为线段的中点在y轴上，所以点的横坐标为，因为点在椭圆W上，将代入椭圆W的方程，得点的坐标为．………………3分所以直线（即）的方程为或．……………5分（Ⅱ）证明：设点关于轴的对称点为（在椭圆W上），要证点与点关于轴对称，只要证点与点C重合，．又因为直线与椭圆W的交点为C（与点不重合），所以只要证明点，，三点共线．………………7分以下给出证明：由题意，设直线

3、的方程为,,，则．由得，………………9分所以，，．………………10分在中，令，得点的坐标为，由，得点的坐标为，………………11分设直线，的斜率分别为，，则，………12分因为，………………13分所以，所以点，，三点共线，即点与点关于轴对称．………………14分2.19．（共13分）（Ⅰ）解：由已知，动点到定点的距离与动点到直线的距离相等．由抛物线定义可知，动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线．所以曲线的方程为．………………3分（Ⅱ）证明：设，．由得．所以，．设，则．因为轴，所以点的横坐标为．由，可得所以当时，．所以曲线在点处的切线斜率为，与直线平行．…………

4、8分（Ⅲ）解：由已知，．设直线的垂线为：．代入，可得（*）若存在两点关于直线对称，则，又在上，所以，．由方程（*）有两个不等实根所以，即所以，解得或．………………13分