考研数学线性代数强化习题集-相似和相似对角化

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2、．相似对角化的条件3、下列矩阵中，不能相似对角化的是（）（A）（B）（C）（D）4、已知三阶矩阵的特征值为，则下列结论中不正确的是（）（A）矩阵是不可逆的（B）矩阵的主对角元素之和为（C）所对应的特征向量正交（D）的基础解系由一个向量构成5、设阶方阵，且对，则（）（A）（B）相似（C）合同（D）同时可相似对角化或不可相似对角化6、设为阶方阵，满足，证明：（1）；（2）矩阵可以相似对角化.7、设为三阶方阵，为三维线性无关列向量组，且有，.（1）求的全部特征值；（2）是否可对角化？8、已知三阶矩阵的特征值为，设（）（A）1（B）2（C）3（D）不能

3、确定三．相似对角化中与的计算9、已知是矩阵属于特征值的特征向量，是矩阵属于特征值的特征向量，那么矩阵不能是（）（A）（B）（C）（D）10、已知，其中，求______________.11、已知矩阵与相似:（1）求与；（2）求一个满足的可逆矩阵12、设矩阵.问当为何值时,存在可逆矩阵,使得为对角矩阵?并求出和相应的对角矩阵.13、设矩阵,已知有三个线性无关的特征向量,是的二重特征值.试求可逆矩阵,使得为对角矩阵.14、设矩阵与相似,其中.（1）求和的值;（2）求可逆矩阵,使.四．的计算15、已知、为三阶矩阵，满足，，齐次方程组有非零解，（1）求

4、的值；（2）求可逆矩阵，使为对角矩阵；（3）求秩；（4）计算行列式；（5）求五．对实对称矩阵性质的考查16、设阶实对称矩阵，则()（A）个特征向量两两正交（B）个特征向量组成单位正交向量组（C）重特征值（D）重特征值17、设二阶实对称矩阵的一个特征值，属于的特征向量为，若，则______________.18、设三阶实对称矩阵的特征值为,对应于的特征向量为,求.六．实对称矩阵的正交相似对角化19、设是阶矩阵，且有个相互正交的特征向量，证明是实对称矩阵20、设三阶对称矩阵A的特征值为，是A的属于特征值的特征向量，记（1）验证是矩阵B的特征向量，并

5、求B的全部特征值与其对应的特征向量；（2）求矩阵B七．综合21、阶实对称矩阵，且满足条件.（1）求的全部特征值.（2）当为何值时，矩阵为正定矩阵，其中阶单位矩阵.Ⅱ参考答案一．相似矩阵1、【答案】（C）【解析】：（A）中，，故和不相似.（B）中，，故和不相似.（D）中，的特征值为，的特征值为，故和不相似.由排除法可知：只有（C）中矩阵和可能相似.事实上，在（C）中，和的特征值均为，由于和均可相似对角化，也即和均相似于，故和相似.故选（C）2、【答案】（D）【解析】：由于，可知：存在可逆矩阵，使得.故，可知、、.又由于可逆，可知，故.故正确的命题

6、有个，选（D）二．相似对角化的条件3、【答案】（D）【解析】：（A）中矩阵为实对称矩阵，可以相似对角化.（B）中矩阵有三个互不相同的特征值：，可以相似对角化.（C）中矩阵特征值为，由于该矩阵秩为，可知其二重特征值有两个线性无关的特征向量，故可以相似对角化.（D）矩阵特征值为，令该矩阵为，，，可知其二重特征值只有一个线性无关的特征向量，故不可以相似对角化.故选（D）.4、【答案】：（C）【分析】：注意本题是找不正确的答案.根据特征值与行列式的关系及特征值的性质应知A，B正确，而的非零解对应的是零特征值的特征向量.【解析】：根据，，知（A），（B）

7、正确；而是单根，因此，即的基础解系只由一个线性无关解向量构成，可知（D）也正确.因此唯一可能不正确的选项是（C）.事实上，由于没有限定为实对称矩阵，故不同特征值的特征向量不一定正交.故选（C）.【评注】：特征值的重数与矩阵的秩的关系：由于矩阵的重特征值最多只能有个线性无关的特征向量，故假设为矩阵的重特征值，则，也即.有两种情况可以确定：一是当矩阵可相似对角化时，必有；二是当为单特征值时，由于，又由于矩阵不满秩，故.本题在确定的基础解系所含向量个数时，用到了上述结论：由于是单特征值，故5、【答案】：（A）【解析】：由知，具有相同特征值，而的特征值

8、为，所以故（A）是正确的.对于（B），（C），（D），可以通过举反例予以排除.例如，则的特征多项式相同，但不相似，否则，矛盾，故可以排除（B）.同时，