高二导数的概念

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1、3.1.2导数的概念高二数学选修1-1第三章导数及其应用1、平均变化率一般的，函数　　在区间上的平均变化率为一.复习其几何意义是表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h（单位：m）与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10hto求ｔ＝2时的瞬时速度？2我们先考察ｔ＝2附近的情况。任取一个时刻2＋△ｔ，△ｔ是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当△ｔ＜0时，在2之前；当△ｔ＞0时，在2之后。△ｔ＜0时2＋△ｔ△ｔ＞0时2＋△ｔ二.新授课学习△t<0时,在[2+△t,2]这段时间内△t>0时,在[2,2+

2、△t]这段时间内当△t=–0.01时,当△t=0.01时,当△t=–0.001时,当△t=0.001时,当△t=–0.0001时,当△t=0.0001时,△t=–0.00001,△t=0.00001,△t=–0.000001,△t=0.000001,…………平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?瞬时速度在局部以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。思考：⑴如何求瞬时速度？⑵lim是什么意思？在其下面的条件下求右面的极限值。⑶运动员在某一时刻ｔ0的瞬时速度如

3、何表示?１、函数的平均变化率怎么表示？思考：定义:函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作或,即导数的作用：在例2中，高度h关于时间t的导数是运动员的瞬时速度；在例1中，我们用的是平均膨胀率，那么半径r关于体积v的导数是气球的瞬时膨胀率导数可以描绘任何事物的瞬时变化率由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择哪种形式,Δy也必须选择与之相对应的形式.一差、二比、三极限例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.(2)求函数

4、f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.三．典例分析题型二：求函数在某处的导数例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.三．典例分析题型二：求函数在某处的导数例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．三．典例分析题型二：求函数在某处的导数例1.(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.三．典例分析题型二：求函数在某处的导数例1:(1)求函数y=x2在x=1处的导数;(2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数.练习:计算第3（h）和第5

5、（h）时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。这说明:在第3小时附近，原油温度大约以1的速率下降，在第5小时附近，原油温度大约以3的速率上升。练习：小结：1求物体运动的瞬时速度：（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)(2)求平均速度（3）求极限2由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量Δy=f(x0+Δt)-f(x0)(2)求平均变化率（3）求极限思考：物体作自由落体运动,运动方程为：其中位移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求：(1)物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度；(2)物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度；(3)物体在t=2(s)时的瞬时

6、速度.分析:解:(1)将Δt=0.1代入上式，得:(2)将Δt=0.01代入上式，得: