2014-2015北京市海淀一模数学理科(word

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1、海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）2015.4一、选择题1、设集合，则（）....2、抛物线上的点到其焦点的最短距离为（）....3、已知向量和向量的夹角为，，则（）....4、是“角是第一象限的角的（）.充分而不必要条件.必要而不充分条件.充分必要条件.既不充分也不必要条件5、圆（为参数）被直线截得的劣弧长为（）....6、若满足，则下列不等式恒成立的是（）....7、某三棱锥的正视图如图所示，则这个三棱锥的俯视图不可能是（）118、某地区在六年内第年的生产总值（单位：亿元）与之间的关系如图所示，则下列四个时

2、段中，生产总值的年平均增长率最高的是（）.第一年到第三年.第二年到第四年.第三年到第五年.第四年到第六年二、填空题9、已知，其中为虚数单位，那么实数10、执行如图所示的程序框图，输出的的职位11、已知是等差数列，那么=的最大值为12、在中，若则的大小为13、社区主任要为小红等4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，小红必须与两位老人都相邻，且两位老人不能排在两端，则不痛的排法种数是14、设，若存在实数，使得函数有两个零点，则的取值范围三、解答题15、已知函数（1）求的最小正周期及其图像的对称轴方程；（2）求的

3、单调减区间。1116、某超市从2014年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按分组，得到频率分布直方图如下：假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立（1）写出频率分布直方图（甲）中的值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为，试比较的大小（只需写出结论）（2）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；（3）设表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求的数学期望17、如图1，在

4、直角梯形中，四边形是正方形，将正方形沿折起到四边形的位置，使平面平面，为的中点，如图2.（1）求证：(2)求与平面所成角的正弦值；（3）判断直线与的位置关系11图2图117、已知函数（1）求函数的单调区间（2）若（其中），求的取值范围，并说明。18、已知椭圆过点，且离心率.(1)求椭圆的方程（2）是否存在菱形,同时满足下列三个条件：点在直线上；点在椭圆上；直线的斜率等于1.如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由。11海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理）答案及评分参考2015.4一、选择题（共8小题，每小题5分

5、，共40分）（1）A（2）C（3）D（4）B（5）A（6）D（7）C（8）A二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9）（10）（11）（12）或（13）（14）三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为………………2分.所以.………………4分令，得：.………………6分所以的最小正周期为，对称轴的方程为.（Ⅱ）.………………9分令，得：.所以的单调递减区间为.………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）；………………2分.………………4分（Ⅱ）设事

6、件：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱.则，.………………6分11所以.………………8分（Ⅲ）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3.………………9分，，，.所以的分布列为01230.3430.4410.1890.027………………11分所以的数学期望.………………13分另解：由题意可知.所以的数学期望.………………13分（17）（共14分）证明：（Ⅰ）证明：因为四边形

7、为正方形，所以.因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.………………2分因为平面，所以.………………4分（Ⅱ）解：如图，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则.所以，，.………………6分设平面的一个法向量为.11由得令，得，所以.………………8分设与平面所成角为，则.所以与平面所成角的正弦值为.………………10分（Ⅲ）解：直线与直线平行.理由如下：………………11分由题意得，.所以.所以.………………13分因为，不重合，所以.………………14分另解：直线与直线平行.理由如下：取的中点

8、，的中点，连接，，.所以且.因为为的中点，四边形是正方形，所以且.所以且.所以为平行四边形.所以且.11因为四边形为梯形，，所以且.所以四边形为平行四边形.所以且.所以且.所以是平行四边形.所以，即.………………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）.………………2分（ⅰ）当时，，则函数的单调递减区间是.………………3分（ⅱ）当时，