201709年高考数学函数与方程讲义

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1、《新课标》必修Ⅰ复习第八讲函数与方程2008年7月一．课标要求：1．结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2．根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。二．命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点，特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。高考

2、试题中有近一半的试题与这三个“二次”问题有关。预计2009年高考对本讲的要求是：以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。（1）题型可为选择、填空和解答；（2）高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题，同时考察函数方程的思想。三．要点精讲1．方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。二次函数的零点：１）△＞０，方程有两不

3、等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点；２）△＝０，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；３）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点。零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。2.二分法二分法及步骤：对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．给定

4、精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间，，验证·，给定精度；（2）求区间，的中点；（3）计算：①若=，则就是函数的零点；②若·<，则令=（此时零点）；③若·<，则令=（此时零点）；（4）判断是否达到精度；即若，则得到零点值（或）；否则重复步骤2～4。注：函数零点的性质从“数”的角度看：即是使的实数；从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点。注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件·表明用二分法求

5、函数的近似零点都是指变号零点。3．二次函数的基本性质（1）二次函数的三种表示法：y=ax2+bx+c；y=a(x－x1)(x－x2)；y=a(x－x0)2+n。（2）当a>0，f(x)在区间［p，q］上的最大值M，最小值m，令x0=(p+q)。若－

6、·f(r)<0；②二次方程f(x)=0的两根都大于r③二次方程f(x)=0在区间(p，q)内有两根④二次方程f(x)=0在区间(p，q)内只有一根f(p)·f(q)<0，或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p，q)内成立。【课前预习】1.关于的方程有正根，则实数的取值范围是。2.【07山东文11】．设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（）A．B．C．D．3.已知定义域为的函数是偶函数，并且在上为增函数。若，则的解集是；4.函数的对称轴方程为，则常数=。四．典例解析题型1：方程的根与函数零点例1．判断

7、下列函数在给定区间上是否存在零点。（1）（2）（3）例2．（1）方程lgx+x=3的解所在区间为（）A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，+∞)（2）设a为常数，试讨论方程的实根的个数。题型2：零点存在性定理例3．（2004广东21）设函数，其中常数为整数。（1）当为何值时，；（2）定理：若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得试用上述定理证明：当整数时，方程在内有两个实根。例4．若函数在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）A．若，不存在实数使得；B．若，存在且只存在一个实数

8、使得；C．若，有可能存在实数使得；D．若，有可能不存在实数使得；题型3：二分法的概念例5．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（）A．“二分法”求方程的近似解一定可将在[a,b]内的所有零点得到；B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到在[a,b]内的零点；C．应用“二分法”求方程的