资源描述：
《2020高考数学一轮复习2.8函数与方程讲义理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第八节函数与方程1．函数零点的概念对于函数y＝f(x)，x∈D，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)，x∈D的零点❶.2．函数的零点与方程根的联系函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的横坐标，所以方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数f(x)有零点．3．零点存在性定理4．二次函数图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无零点个数❹
2、210(1)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根．(2)零点一定在定义域内.由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如下图所示．所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶次零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号．零点存在性定理只能判断零点存在，不能确定零点的个数．若函数在某区间上是单调函数，则该函数在该区间上至多有一个零点．判断二次函数f(x)的零点个数就是判断一元二
3、次方程ax2＋bx＋c＝0的实根个数，一般由判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0完成．[熟记常用结论]1．若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点．2．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．3．周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则
4、f(a)f(b)＜0.( )(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点．( )答案：(1)× (2)× (3)√二、选填题1．已知函数y＝f(x)的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.435－7414.5－56.7－123.6则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )A．2个 B．3个C．4个D．5个解析：选B 由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，所以y＝f(x)在[
5、1,6]上至少有3个零点．故选B.2．函数f(x)＝lnx－的零点所在的大致范围是( )A．(1,2)B．(2,3)C.和(3,4)D．(4，＋∞)解析：选B 易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln2－1＜0，f(3)＝ln3－＞0，得f(2)·f(3)＜0.故选B.3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数为( )A．0B．1C．2D．3解析：选B 函数f(x)＝ex＋3x在R上是增函数，∵f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，∴f(－1)·f(0)＜0，∴函数f(x)有唯一零点，且在(－1,0)内，故选B.4．
6、函数f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)的零点为________．答案：－，，1,2考点一函数零点所在区间的判断[基础自学过关][题组练透]1．(2019·郑州名校联考)已知实数a，b满足2a＝3,3b＝2，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是( )A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)解析：选B ∵2a＝3,3b＝2，∴a＞1,0＜b＜1，又f(x)＝ax＋x－b是单调递增函数，∴f(－1)＝－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，∴f(x)在区间(－1,0)上存在零
7、点．故选B.2．若x0是方程x＝x的解，则x0属于区间( )A.B.C.D.解析：选C 令g(x)＝x，f(x)＝x，则g(0)＝1＞f(0)＝0，g＝＜f＝，g＝＞f＝，结合图象可得＜x0＜.3．(2019·河北武邑中学调研)函数f(x)＝3x－7＋lnx的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.解析：因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝－1＋ln2＜0，f(3)＝2＋ln3＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.答案：2[名师微点]确定函数f(x)的零点
8、所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．考点二判断函数零点个数[师生共研过关][典例精析]已知函数f(x)＝函数g(
