2020年高考数学（理）一轮复习讲练测 专题2.8 函数与方程（讲） 含解析

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1、2020年高考数学（理）一轮复习讲练测专题2.8函数与方程1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.知识点一函数的零点(1)函数零点的概念对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点

2、，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根.知识点二二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数210【特别提醒】1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根.2.由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如

3、图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.考点一函数零点所在区间【典例1】（2019·河北正定中学模拟）若x0是方程x＝x的解，则x0属于区间(　　)A.B.C.D.【答案】C　【解析】令g(x)＝x，f(x)＝x，则g(0)＝1＞f(0)＝0，g＝＜f＝，g＝＞f＝，结合图象可得＜x0＜.【方法技巧】确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(

4、x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．【变式1】（2019·山西忻州一中模拟）函数f(x)＝lnx－的零点所在的区间为(　　)A.(0，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，4)【答案】B【解析】易知f(x)＝lnx－在定义域(0，＋∞)上是增函数，又f(1)＝－2<0，f(2)＝ln2－>0.根据零点存在性定理，可知函数f(x)＝lnx－有唯一零点，且在区间(1，2)内.考点二判断函数零点个数【典例2】(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos在[0，π

5、]的零点个数为________．【答案】3【解析】由题意可知，当3x＋＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)＝0.∵x∈[0，π]，∴3x＋∈，∴当3x＋取值为，，时，f(x)＝0，即函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为3.【方法技巧】(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．【变式2】（2019·北京牛栏山一中

6、模拟）已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为(　　)A．2B．3C．4D．5【答案】A【解析】由已知条件可得g(x)＝3－f(2－x)＝函数y＝f(x)－g(x)的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的交点个数，在平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示．由图可知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有2个交点，所以函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为2，选A.考点三根据函数零点个数或存在情况求参数范围【典例3】【2019年高考浙江】已知，函数．

7、若函数恰有3个零点，则（）A．a<–1，b<0B．a<–1，b>0C．a>–1，b<0D．a>–1，b>0【答案】C【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x，则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点；当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2+ax﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b，，当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增，则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此

8、时函数单调递增，令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点⇔函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如图：∴0且，解得b＜0，1