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时间:2018-11-24
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1、第一章集合与简易逻辑典型例题解析例1以下说法中正确的个数有( ) ①表示同一个集合 ②与表示同一个集合; ③空集是唯一的; ④与,则集合。 A﹒3个 B﹒2个 C﹒1个 D﹒0个解:①集合M表示由点(1,2)组成的单点集,集合N表示点(2,1)组成的单点集。 ②由集合元素无序性可知M,N表示同一个集合。 ③由且(其中、均为空集)由集合相等定义可知即证明空集唯一性。 ④对于要认识一个集合,应从以下方面入手①判断集合元素是什么;②元素有何属性(如表示数集,点集等),表示集合时与代表元素采用的字母
2、无关。而④中的集合都表示大于等于1的实数组成的集合,故相等,选A。例2若集合: ,,则M,N,P的关系是( ) A﹒ B﹒ C﹒ D﹒ 解对集合 对集合 对于 ∴,故选B。例3 设全集,,,判断与之间的关系. 解:∵ ∴ ∵ ∴ ∴例4. 如图所示,I是全集,M、P、S是I的3个子集,则阴影部分所表示的集合是( )A﹒ B﹒C﹒IS D﹒IS 解此阴影部分是属于M且属于P,即。但又不属于S集,所以为IS,故选C。例5
3、 解不等式. 点拨一 这是一个含有两个绝对值的符号的不等式,为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式,要进行分类讨论. 解法一 由代数式,知,-2,1把实数集分为三个区间:,,. 当时,原不等式变为,即; 当时,原不等式变为,即; 当时,原不等式变为,即. 综上,知原不等式的解集为. 点评 解这类绝对值符号里是一次式的不等式,其一般步骤是: (1)令每个绝对值符号里的一次式为零,求出相应的根; (2)把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间; (3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式,解这
4、些不等式,求出它们的解集; (4)这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集. 点拨二 不等式的几何意义是表示数轴上与及B(1)两点距离之和小于4的点.而A,B两点距离为3,因此线段AB上每一点到A,B的距离之和都等于3.如下图,要找到与A,B的距离这和为4的点,问题就迎刃而解了. 解法二 如上图,要找到与A,B距离之和为4的点,只需由点B向右移动个单位,这时距离之和增加1个单位,即移到点.或由点A向左移动个单位,即移到点. 可以看出,数轴上点向左的点或者向右的点到A,B两点的距离之和均小于4. 所以,原不等式
5、的解集为. 点拨三 从函数的角度思考,可分别画出函数和的图象.观察即得.解法三 如右图.. 不难看出,要使,只须. 所以,原不等式的解集为. 点评 对于解法一,要孰记或两种类型的解法,关键是正确分类并转化为不含绝对值的不等式;对于解法二,要搞清它的几何意义是什么,并注意结论是否包括端点;对于解法三,关键是正确画出两个函数的图象,并准确写出它们交点的坐标.三种方法都比较直观、简捷,不同程度体现了分类讨论、函数与方程、数形结合等数学思想方法,各有千秋,都是我们应该熟练掌握的解题通性通法.例6解不等式. 解法一原不
6、等式等价于(Ⅰ)或(Ⅱ)解(Ⅰ),得,或.解(Ⅱ),得解集为空集.所以,原不等式的解集为. 解法二 原不等式等价于 (Ⅰ),或(Ⅱ). 解(Ⅰ),得 ,或 .解(Ⅱ),得解集为空集. 所以,原不等式的解集为. 点评 比较两种解法可以看出,第二种解法比较简便.在第二种解法中,用到了下列关系: 若,则等价于,或. 解法三 在直角坐标系中分别画出,,. 如图,不难看出,要使,只须,或. 所以,原不等式的解集为.例7解不等式(为参数) 分析这是一个含有字母的一元二次不等式,在解题时要注意对字母的讨论. 解
7、:原不等式可化为 若,则,即,原不等式的解集为; 若,即或,则原不等式的解集为; 若,即或,则原不等式的解集为 因此,当时,原不等式的解集为;当或时,原不等式的解集为 说明:此题是带字母问题,要涉及到分类讨论问题。讨论中又涉及到解二次不等式,所用到的知识比较多,条理也要求必须清楚,才能正确解决此题.例8不等式的解是全体实数,求实数的取值范围。 分析:此题应就所给不等式是一次还是二次进行分类讨论,针对二次的情形应结合二次函数的图象,知此时应有且,特别要强调此时。 解:若,不等式为,其解集为 若,不等式为
8、,其解集显然不是全体实数,故不符合条件。 若,不等式为二次不等式,有 解得 即 综上得, 说明:解含有字母的一元二次不等式要根据字母范围进行讨论,当二次系数含有字母时,应首先考虑其值是否为零。例8已知,且,(),求实数P的取值范围。 解:由知,关于的二次方程无正根。 (1)若方程无实根:,得; (2)若方程有实根,
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