高考数学均值不等式专题(含答案)家教文理通用

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1、细节决定成功高考：均值不等式专题◆知识梳理1．常见基本不等式，若a>b>0,m>0,则；若a,b同号且a>b则。;2．均值不等式:两个正数的均值不等式：变形，,等。3．最值定理:设（1）如果x,y是正数,且积,则时,（2）如果x,y是正数和,则时,4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；②熟悉一个重要的不等式链：。◆课前热身1.已知，且，则的最大值为.2.2.若,则的最小值为．3.已知：，且，则的最小值是.9细节决定成功1.4.已知下列四

2、个结论①当；②；③的最小值为2；④当无最大值.则其中正确的个数为◆考点剖析一、基础题型。1.直接利用均值不等式求解最值。例1：（2010年高考山东文科卷第14题）已知，且满足，则xy的最大值为。2通过简单的配凑后，利用均值不等式求解最值。例2：（2010年高考四川文科卷第11题）设，则的最小值是（）（A）1（B）2（C）3（D）4例3：已知0＜x＜，则y＝2x－5x2的最大值为________．例4：已知，且，求的最大值．（类似例5）二、转化题型1.和积共存的等式，求解和或积的最值。例5：（2010年高考重庆卷第7题）已知x>0，

3、y>0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A.3B.4C.D.2.分式型函数（）求解最值。例6：（2010年高考江苏卷第14题）9细节决定成功将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=,则S的最小值是_________。例7：（2010年高考全国Ⅰ卷第11题）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为（）(A)(B)(C)(D)三、解决恒成立问题例8：若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．变式训练：已知x＞0，y＞0，xy

4、＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．◆课后强化一、选择题。1．已知ab≠0，a，b∈R，则下列式子总能成立的是(　　)A.＋≥2B.＋≥－2C.＋≤－2D.≥22．[2011·重庆卷]若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝(　　)A．1＋B．1＋C．3D．43．对一切正数m，不等式n<＋2m恒成立，则常数n的取值范围为(　　)A．(－∞，0)B．(－∞，4)C．(4，＋∞)D．[4，＋∞)4．[2011·陕西卷]设0

5、＜＜B．a＜＜＜bC．a＜＜b＜D.＜a＜＜b5．[2011·安徽]已知a>0，b>0，A为a，b的等差中项，正数G为a，b的等比中项，则ab与AG的大小关系是(　　)A．ab＝AGB．ab≥AGC．ab≤AGD．不能确定6．设a、b、c都是正数，那么a＋、b＋、c＋三个数(　　)A．都不大于2B．都不小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于27．若x、y、z均为正实数，则的最大值是(　　)A.B.C．2D．28．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有(　　)A．最大值为0B．最小值为0C．最大值为－4D．最小值为

6、－49．设x，y∈R，且x＋y＝4，则5x＋5y的最小值是(　　)A．9B．25C．50D．16210．若logx＋logy＝8，则3x＋2y的最小值为(　　)A．4B．8C．4D．8二、填空题。1．若a>b>1，P＝，Q＝(lga＋lgb)，R＝lg，则P，Q，R的大小关系为________．2.（2010年高考山东卷第14题）若对任意，恒成立，则的取值范围是。3.（2010年高考重庆文科卷第12题）已知,则函数的最小值为9细节决定成功4.（2010年高考浙江文科卷第15题）若正实数x，y满足，则xy的最小值是。（变式：求2x+

7、y的最小值为______）5．下列函数中，y的最小值为4的是________(写出所有符合条件的序号)．①y＝x＋(x>0)；②y＝；③y＝ex＋4e－x；④y＝sinx＋.6．设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值是________．7．设a＞0，b＞0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于________．二、解答题。1．(13分)若x，y∈R，且满足(x2＋y2＋2)(x2＋y2－1)－18≤0.(1)求x2＋y2的取值范围；(2)求证：xy≤2.2．(12分)如图K37－1，公园有一块边长为2的等

8、边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．(1)设AD＝x(x≥0)，ED＝y，求用x表示y的函数关系式；(2)如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则