用公式法求二面角的平面角.doc

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1、用公式法求二面角的平面角　大家知道，当一个三面角的三个面角都固定时，则它们任意两个面的平面角的大小也就确定．它们之间一定存在着某种必然的内在联系．事实上，我们有如下的定理．　　定理 设为一个三面角，，，，二面角的平面角为，则有　　．　　略证：如图，，，则．令，．在△中，，．同理，，．故．　　又在△中，，  ①　　在△中，．   ②　　由①，②得．证毕　　同理可证，当，中有一个为钝角（或直角）时，公式也照样成立（这里从略）．　　由此可知：（1）将此公式反过来，只要知道了，，，即可求平面角；（2）此公式与三角形中的余弦定理有

2、相似之处，不妨把它叫做三面角的余弦定理．例1  已知正三棱锥侧面与底面的夹角为，任两侧面的夹角为，求证．　　略证：如图2，设为正棱锥，构成三面角．又设的平面角为，的平面角为，．　　由公式得:　　，故．    ①　　又，故．     ②　　由①，②得  ．　　例2 如图，在梯形中，，，，，，，平面，求以为棱的二面角的大小（1994年上海高考题）．　　略解：构成三面角，令，则　　，，　　设，，，．　　由，，，知，．　　又在△中，由，，得．　　在△中，．令，则　　，．　　由公式得，．　　∴．　　例3 如图,已知正三棱柱，为的中

3、点，（1）求证：平面BDC1；（2）若，求以为棱的二面角的大小．（1994年上海高考题）　　略解：为三面角，连结，交于．连结．　　是等腰直角三角形．　　令，则，．　　由，得．　　设，，，　　，，．　　由公式得　　即，．∴．数学测试题—空间角和距离1．、为异面直线，二面角——，，，如果二面角——的平面角为，则，所成的角为（）A．B．C．或D．2．在空间，如果、、表示直线与平面，“若，，则∥”成立，那么，，所分别表示的元素正确的是（）A．，，都是直线B．，，都是平面C．，为平面，为直线D．为直线，，为平面3．一个二面角的两个

4、面与另一个二面角的两个面分别垂直，则这两个二面角的大小关系是（）A．相等　　　B．互补C．相等或互补　　　D．不能确定4．二面角M—l—N的平面角是60，直线a平面M，a与棱l所成的角是30，则a与平面N所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．5.正三棱柱ABC—A1B1C中，D是AB的中点，CD等于，则顶点A1到平面CDC1的距离为（）．A．B．1C．D．6．在长方体ABCD一A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为（）A．B．C．D．7．7．二面角α

5、－l－β的棱l上有一点P，射线PA在α内，且与棱l成45°角，与面β成30°角则二面角α－l－β的大小为（）A．30°　　B．45°　C．60°　　D．90°8．一条直线与平面成60°角，则这条直线与平面内的直线所成角的取值范围是（）A．［0°，90°］B．C．［60°，180°］D．［60°，90°］9．球面上A、B两点的球面距离是，过这两点的半径的夹角是60°，则这个球的体积为（）A．48B．36C．24D．1810．已知A（1，1，1），B（－1，0，4），C（2，－2，3），则〈，〉的大小为（）A．B．C．D．1

6、1．如图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是AC与BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥BA，则EF与CD所成角为（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．900B．450C．600D．3012．由四个全等的正三角形围成的空间图形叫正四面体.正四面体的四个正三角形面的12条中线能形成数值不同的k个锐角，k的数值是（）A．7B．6C．5D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．圆锥和一个球面相交，球心是圆锥的顶点，半径等于圆锥的高，若圆锥的侧面积被球与圆锥侧面的交

7、线所平分，则圆锥母线与底面所成角的大小为__________.14．一个锐角为30，斜边为2的直角三角形纸片，以斜边上的中线为折痕折成直二面角，折后斜边两端点的距离等于.15．如图，将两邻边长分别为a、b的矩形，按图中的实线折叠剪裁而折成的正四棱锥，则的取值范围是.16．把地球看作半径为R的球，A、B是北纬a度圈上的两点，它们的经度差为b，则A、B两点间的球面距离为___________.三、解答题（共计74分）17．（本小题满分12分）如图，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=3a，BC=CD=a．将△B

8、CD沿BD折起，使得C到C′，且C－BD－A为60°的二面角，求A、C′的距离．18．（本小题满分12分）若平面α内的直角△ABC的斜边AB=20，平面α外一点P到A,B,C,三点距离都是25,求点P到平面的距离．19．（本小题满分12分）已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC中点.在直