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时间:2018-07-31
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1、用公式法求二面角的平面角 大家知道,当一个三面角的三个面角都固定时,则它们任意两个面的平面角的大小也就确定.它们之间一定存在着某种必然的内在联系.事实上,我们有如下的定理. 定理 设为一个三面角,,,,二面角的平面角为,则有 . 略证:如图,,,则.令,.在△中,,.同理,,.故. 又在△中,, ① 在△中,. ② 由①,②得.证毕 同理可证,当,中有一个为钝角(或直角)时,公式也照样成立(这里从略). 由此可知:(1)将此公式反过来,只要知道了,,,即可求平面角;(2)此公式与三
2、角形中的余弦定理有相似之处,不妨把它叫做三面角的余弦定理.例1 已知正三棱锥侧面与底面的夹角为,任两侧面的夹角为,求证. 略证:如图2,设为正棱锥,构成三面角.又设的平面角为,的平面角为,. 由公式得: ,故. ①6 又,故. ② 由①,②得 . 例2 如图,在梯形中,,,,,,,平面,求以为棱的二面角的大小(1994年上海高考题). 略解:构成三面角,令,则 ,, 设,,,. 由,,,知,. 又在△中,由,,得. 在△中,.令,则 ,. 由公式得,. ∴
3、.6 例3 如图,已知正三棱柱,为的中点,(1)求证:平面BDC1;(2)若,求以为棱的二面角的大小.(1994年上海高考题) 略解:为三面角,连结,交于.连结. 是等腰直角三角形. 令,则,. 由,得. 设,,, ,,. 由公式得 即,.∴.数学测试题—空间角和距离1.、为异面直线,二面角——,,,如果二面角——的平面角为,则,所成的角为()A.B.C.或D.2.在空间,如果、、表示直线与平面,“若,,则∥”成立,那么,,所分别表示的元素正确的是()A.,,都是直线B.,,都是平面C
4、.,为平面,为直线D.为直线,,为平面63.一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直,则这两个二面角的大小关系是()A.相等 B.互补C.相等或互补 D.不能确定4.二面角M—l—N的平面角是60,直线a平面M,a与棱l所成的角是30,则a与平面N所成的角的余弦值是()A.B.C.D.5.正三棱柱ABC—A1B1C中,D是AB的中点,CD等于,则顶点A1到平面CDC1的距离为().A.B.1C.D.6.在长方体ABCD一A1B1C1D1中,B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°
5、,则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()A.B.C.D.7.7.二面角α-l-β的棱l上有一点P,射线PA在α内,且与棱l成45°角,与面β成30°角则二面角α-l-β的大小为()A.30° B.45° C.60° D.90°8.一条直线与平面成60°角,则这条直线与平面内的直线所成角的取值范围是()A.[0°,90°]B.C.[60°,180°]D.[60°,90°]9.球面上A、B两点的球面距离是,过这两点的半径的夹角是60°,则这个球的体积为()A.48B.36C.24D.1810.已知
6、A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3),则〈,〉的大小为()A.B.C.D.11.如图所示,在四面体ABCD中,E、F分别是AC与BD的中点,若CD=2AB=4,EF⊥BA,则EF与CD所成角为( ) A.900B.450C.600D.3012.由四个全等的正三角形围成的空间图形叫正四面体.正四面体的四个正三角形面的12条中线能形成数值不同的k个锐角,k的数值是()A.7B.6C.5D.4二、填空题(本大题共4小题,每
7、小题4分,共16分)613.圆锥和一个球面相交,球心是圆锥的顶点,半径等于圆锥的高,若圆锥的侧面积被球与圆锥侧面的交线所平分,则圆锥母线与底面所成角的大小为__________.14.一个锐角为30,斜边为2的直角三角形纸片,以斜边上的中线为折痕折成直二面角,折后斜边两端点的距离等于.15.如图,将两邻边长分别为a、b的矩形,按图中的实线折叠剪裁而折成的正四棱锥,则的取值范围是.16.把地球看作半径为R的球,A、B是北纬a度圈上的两点,它们的经度差为b,则A、B两点间的球面距离为___________.
8、三、解答题(共计74分)17.(本小题满分12分)如图,ABCD为直角梯形,AB∥CD,AB⊥BC,AB=3a,BC=CD=a.将△BCD沿BD折起,使得C到C′,且C-BD-A为60°的二面角,求A、C′的距离.18.(本小题满分12分)若平面α内的直角△ABC的斜边AB=20,平面α外一点P到A,B,C,三点距离都是25,求点P到平面的距离.19.(本小题满分12分)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC中
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