直线与双曲线位置关系典例精析

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1、直线和双曲线的位置关系一、要点精讲1．直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.2．弦长公式：设直线交双曲线于，，则，或．二、基础自测1．经过点且与双曲线仅有一个公共点的直线有（）(A)4条(B)3条(C)2条(D)1条2．直线y=kx与双曲线不可能（）（A）相交（B）只有一个交点（C）相离（D）有两个公共点3．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线的通径长是(A)(B)(C)(D)4．若一直线平行于双曲线的一条渐近线，则与双曲线的公共点个数为．解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共

2、点，应注意直线与双曲线不是相切5．经过双曲线的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是．6．直线在双曲线上截得的弦长为4，且的斜率为2，求直线的方程．9/9三、典例精析题型一：直线与双曲线的位置关系1.如果直线与双曲线没有公共点，求的取值范围．有两个公共点呢？解，所以△=，所以，，故选D.2．(2010·安徽)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是(　　)A.B.C.D.解：由得(1－k2)x2－4kx－10＝0，∴，解得－

3、求出它们的方程。9/9题型二：直线与双曲线的相交弦问题4.过双曲线的左焦点，作倾斜角为的弦，求⑴；⑵的周长（为双曲线的右焦点）。5.已知双曲线方程为，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k值对判别式△>0进行验证即可．6.双曲

4、线方程为.9/9问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．7、已知中心在原点，顶点在轴上，离心率为的双曲线经过点（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）动直线经过的重心，与双曲线交于不同的两点，问是否存在直线使平分线段。试证明你的结论。题型三：求双曲线方程8.已知焦点在x轴上的双曲线上一点，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线被双曲线截得的弦长为，求此双曲线的标准方程．9、设双曲线与直线相交于不同的点A、B.⑴求双曲线的离心率的取值范围；9/9⑵设直线与轴的交点为，且，求的值。解：(1)将y

5、＝－x＋1代入双曲线－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0①由题设条件知，，解得0且e≠.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)．∵＝，∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)．∴x1＝x2，∵x1、x2是方程①的两根，且1－a2≠0，∴x2＝－，x＝－，消去x2得，－＝，∵a>0，∴a＝.10.已知双曲线的焦点为，，过且斜率为的直线交双曲线于、两点，若(其中为原点），，求双曲线方程。11.双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别

6、为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．解：（Ⅰ）设，，由勾股定理可得：得：，，9/9由倍角公式，解得,则离心率．（Ⅱ）过直线方程为,与双曲线方程联立，将，代入，化简有将数值代入，有,解得故所求的双曲线方程为。12、已知双曲线－＝1(b>a>0)，O为坐标原点，离心率e＝2，点M(，)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)若直线l与双曲线交于P，Q两点，且.求＋的值．解：(1)∵e＝2，∴c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2，双曲

7、线方程为－＝1，即3x2－y2＝3a2.∵点M(，)在双曲线上，∴15－3＝3a2.∴a2＝4.∴所求双曲线的方程为－＝1.(2)设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，联立－＝1，得∴

8、OP

9、2＝x2＋y2＝.则OQ的方程为y＝－x，9/9同理有

10、OQ

11、2＝＝，∴＋＝＝＝.13．(2012上海)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点．若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥O

12、Q；(3)设椭圆C2：4x2＋y2＝1.若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．解：(1)双曲线C1：，左顶点A，渐近线方程为：y＝±x.过点A与渐近线y＝x平行的直线方程为，即y＝x＋1.解方