二次函数实践与探索

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1、二次函数实践与探索陈萍教学目标：1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。2．使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。3．进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。培养合作的良好意识和大胆探索数学知识间联系的好习惯，体会到二次函数广泛意义。重点难点：重点：使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题是教学的重点。难点：进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点教学过程设计[探究]如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出

2、时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有关系：y=20x-5x2考虑以下问题：球从飞出到落地需要多少时间？球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？球的飞行高度能否达到30m？为什么？学生交流各自愿求解方法与结论。⑴当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出，4s时球落回地面．⑵当球飞行1s时和3s时，它的高度为15m．⑶当球飞行2s时，它的高度为20m．⑷球的飞行高度达不到30m．[归纳]二次函数与一元二次方程有如下关系；1、函数

3、y=ax2+bx+c，当函数值y为某一确定值m时，对应自变量x的值就是方程ax2+bx+c=m的根。1、特别是y=0时，对应的自变量x的值就是方程ax2+bx+c=0的根。以上关系，反过来也成立。-5-[议一议]利用以上关系，可以解决什么问题？解：利用以上关系，可以解决两个方面问题。其一，当y为某一确定值时，可通过解方程来求出相应的自变量x值；其二，可以利用函数图象来找出相应方程的根。2、二次函数的图象与x轴的交点情况同一元二次方程的根的情况之间的关系[议一议]观察图26-2-3中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？（1）方程x2+x-2=0的根是x1=-2，x2

4、=1.方程x2-6x+9=0的根是x1=x2=3。（2）方程x2-x+1=0无实数根。（3）[归纳]一般地，从二次函数y=ax+bx+c的图象可知：（1）如果抛物线y=与x轴有公共点（x0，0），那么x0就是方程ax+bx+c=0的一个根。（2）抛物线与x轴的三种位置关系：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。想一想：在引例中当x在什么范围内时同,球的飞行高度高于15m？让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系，讨论、交流，达成共识：(1)从“形”的方面看，二次函数y＝ax2＋bx＋c在

5、x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标．即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解。(2)从“数”的方面看，当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解。这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。（一）应用迁移，巩固提高类型之一：根据二次函数图象看一元二次方程的根及不等式的解集例1：如图所示，(1)你能直观看出哪些方程的根？(2)x取什么值时

6、，y>0？y<0?y>3?-5-根据函数图象你能说出不等式-x2+2x>0的解集吗?变式：（1）求不等式-x2+2x>0的解集？(2)过（0，3）与（3，0）的直线是什么？记作y1,二次函数记作y2,x为何值时，y1=y2x为何值时，y1〉y2，x为何值时，y1

7、>0的解集是什么?不等式x2+3x-4<0的解集是什么?x2+3x-4<6解集是什么已知：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=3的根的情况是（）A、有两个不相等的正实根B、有两个异号实根C、有两个相等的实根D、没有实数根[解析]利用二次函数与二次方程之间的关系来判断。解法一：根据图象知：方程ax2+bx+c=3的根是x1=x2=1。∴方程ax+bx+c-3=0的x1=x2=1。解法二：根据图象知è=0，又∵方程ax+bx+c-3=0中，△=b2-4a(c-3)