三角变换的解题策略与技巧

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1、-三角变换的解题策略与技巧1、三种变换2、三种题型3、常用的变换技巧（1）“1”的代换（2）角的等量代换（3）“切割”化“弦”（4）公式的逆用和变用（5）分式基本性质的应用（6）代数恒等变形方法的应用一、三角式的化简1、三角式化简完成的标准2、几种类型的三角式的化简例：化简下列各式解析：---解析：解析三类三角式化简的要点1、“整式”形式的三角式——合并“同类项”2、“分式”形式的三角式——分解因式，约分3、“根式”形式的三角式——配方，去根号二、三角式的求值---三种求值问题例1、求值(1)2sin160°－cos170°－tg160°

2、·sin170°解析：原式=2sin20°+cos10°+tg20°·sin10°(2)cos20°·cos40°·cos80°解析：(3)sin10°·sin30°·sin50°·sin70°解析1：原式=cos80°·cos60°·cos40°·cos20°解析2：令A=sin10°·sin30°·sin50°·sin70°B=cos10°·cos30°·cos50°·cos70°则24A·B=sin20°·sin60°·sin100°·sin140°---=cos70°·cos30°·cos10°·cos50°=B(4)cos10°

3、·cos30°·cos50°·cos70°解析：解析1：解析2：例3、已知1－cosα－cosβ+sinαcosβ=01+cosα－sinβ+sinαsinβ=0---解：若sinα=1，则cosα=0此时，已知两式均不成立.∴sinα≠1于是由已知式有两式平方后相加得化简得2+2cos2α=1－2sinα+sin2α2+2(1－sin2α)=1－2sinα+sin2α3sin2α－2sinα－3=0∵

4、sinα

5、≤1例4、已知sin22α+sin2αcosα－cos2α=1,解析：运用倍角公式，由公式有4sin2αcos2α+2sinα

6、cos2α－2cos2α=0---(2002高考)三、三角式的证明1、基本证法——定向化简2、证法思路——从左往右证从右往左证左右两边证3、二类三角式的证明——（1）三角恒等式的证明（2）三角条件等式的证明例1、求证下列各式解析1：解析2：=tgα+secα解析3---=0解析1：=tg4A解析2：=tg4A解析3令tgA=t---=t4=tg4A解析1：解析2：由已知有四、三角形内的三角变换基本关系式1、角的关系A+B+C=π2、边的关系

7、b－c

8、

9、例1、已知O是锐角△ABC的外心，△BOC、△COA、△AOB的面积依次成等差数列，求证tgA、tgB、tgC也成等差数列.解析：作一示意图且S△BOC、S△COA、S△AOB成等差数列2sin2B=sin2A+sin2C4sinBcosB=2sin(A+C)cos(A－C)∵A+B+C=π，A、B、C为锐角，∴sinB=sin(A+C)≠0∴2cosB=cos(A－C)－2cos(A+C)=cos(A－C)－2(cosAcosC－sinAsinC)=cosAcosC+sinAsinC∴sinAsinC=3cosAcosC∵cosA≠0,

10、cosC≠0∴tgA·tgC=3即2tgB=tgA+tgC∵tgA、tgB、tgC成等差数列例2、求证：在△ABC中，cos3A+cos3B+cos3C=1的充要条件是A、B、C中有一个是解析：∵A+B+C=π---∴cos3A+cos3B+cos3C=(cos3A+cos3B)+cos[3π－3(A+B)]（1）证充分性若A、B、C中有一个角是，则、、中有一个是π∴cos3A+cos3B+cos3C=1（2）证必要性若cos3A+cos3B+cos3C=1∵0

11、立.--