因式分解经典讲义(精)

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1、第二章分解因式【知识要点】1．分解因式（1）概念：把一个________化成几个___________的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。（2）注意：①分解因式的实质是一种恒等变形，但并非所有的整式都能因式分解。②分解因式的结果中，每个因式必须是整式。③分解因式要分解到不能再分解为止。2．分解因式与整式乘法的关系整式乘法是____________________________________________________；分解因式是____________________________________________________；所以

2、，分解因式和整式乘法为_______关系。3．提公因式法分解因式（1）公因式：几个多项式__________的因式。（2）步骤：①先确定__________，②后__________________。（3）注意：①当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1。②当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“”号。4．运用公式法分解因式（1）平方差公式：_________________________（2）完全平方公式：_________________________注：分解因式还有诸如十字相乘法、分组分解法等基本方法，做为补充讲解内容。【考点

3、分析】考点一：利用提公因式法分解因式及其应用【例1】分解因式：（1）（2）（3）（4）可以失败，但不可以放弃解析：（1）题先提一个“”号，再提公因式；（2）题的公因式为；（3）题的公因式为；（4）题的公因式为。答案：（1）；（2）；（3）；（4）。【例2】（1）已知，，求的值。（2）已知，，求的值。解析：（1）题：，所以考虑整体代入求该代数式的值；（2）题：，整体代入求值时注意符号。答案：（1）（2）【随堂练习】1．分解因式：（1）（2）（3）（4）2．不解方程组，求的值注：（1）公因式应按“系数大（最大公约数），字母同，指数低”的原则来选取。可以失

4、败，但不可以放弃（2）当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1，而不是没有。（3）当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“”号。（4）利用分解因式整体代入往往应用于代数式的求值问题。考点二：利用平方差公式分解因式及其应用【例3】分解因式：（1）（2）解析：（1）题：原式从整体看符合平方差公式，所以整体套用平方差公式；（2）题：，所以符合平方差公式，此题注意分解完全。答案：（1）；（2）。【例4】计算：（1）；（2）.解析：（1）题：原式中每一个因式符合平方差公式，可以借助分解因式简化计算。（2）题：先化简，再使用平方差公式。答案：（1）

5、；（2）。【例5】利用因式分解说明：能被整除。解析：对于符号相反的二项式，我们考虑使用平方差公式。此种题型应先将两项化为底数相同的情况，再利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解，最后凑出除数。所以能被140整除。【随堂练习】可以失败，但不可以放弃1．分解因式：（1）（2）2.利用分解因式说明：能被60整除.注：（1）平方差公式的结构特征是：二项式，两项都是平方项，且两项符号相反；（2）公式中的可以是具体数，也可以是代数式；（3）在运用平方差公式的过程中，有时需要变形。考点三：利用完全平方公式分解因式及其应用【例6】（1）分解因式：（2）已知是完全平

6、方式，求的值。（3）计算：.解析：（1）题：原式要先提取公因式，再利用完全平方差公式进行分解。（2）题：此种题型考察完全平方公式的特征，中间项是首尾两项底数积的2倍（或其相反数）。（3）题：。答案：（1）；（2）；（3）【例7】（四川·成都）已知，那么的值是________。解析：原式的前三项可以进行因式分解，分解为，再将变形为，整体代入求值。答案：1．【随堂练习】可以失败，但不可以放弃1．（1）分解因式：（2）若多项式能运用完全平方差公式进行因式分解，求的值。（3）2．（1）已知：，，求代数式。（2）当时，求代数式的值。注：（1）完全平方公式的结构

7、特征是：三项式，首尾两项分别为两个数的平方，中间项是两个底数积的2倍（或其相反数）；（2）公式中的可以是具体数，也可以是代数式；考点四：综合利用各种方法分解因式及其应用【例8】分解因式：（1）（2）解析：（1）、（2）题都应先利用完全平方公式，再利用平方差公式进行因式分解。答案：（1）；（2）。【例9】（福建·漳州）给出三个多项式：，请选择你最喜欢的两个多项式进行加减运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解。解析：本题是一道开放题，只要所得整式可以因式分解。本题可任取两个多项式进行加法运算再因式分解。如：可以失败，但不可以放弃【例10】已知分别是

8、三角形ABC的三边，试证明解析：已知分别是三角形ABC的三边，可以想到利用三角形的三边关系，再由不等式的左边