非线性规划模型

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1、WORD格式可编辑非线性规划模型在上一次作业中，我们对线性规划模型进行了相应的介绍及优缺点，然而在实际问题中并不是所有的问题都可以利用线性规划模型求解。实际问题中许多都可以归结为一个非线性规划问题，即如果目标函数和约束条件中包含有非线性函数，则这样的问题称为非线性规划问题。一般来说，解决非线性的问题要比线性的问题难得多，不像线性规划有适用于一般情况的单纯形法。对于线性规划来说，其可行域一般是一个凸集，只要存在最优解，则其最优解一定在可行域的边界上达到；对于非线性规划，即使是存在最优解，却是可以在可行域的任一点达到，因此，对于非线性规划模型，迄

2、今为止还没有一种适用于一般情况的求解方法，我们在本文中也只是介绍了几个比较常用的几个求解方法。一、非线性规划的分类1无约束的非线性规划当问题没有约束条件时，即求多元函数的极值问题，一般模型为此类问题即为无约束的非线性规划问题1.1无约束非线性规划的解法1.1.1一般迭代法即为可行方向法。对于问题给出的极小点的初始值，按某种规律计算出一系列的，希望点阵的极限就是的一个极小点。由一个解向量求出另一个新的解向量向量是由方向和长度确定的，所以即求解和，选择和的原则是使目标函数在点阵上的值逐步减小，即检验是否收敛与最优解，及对于给定的精度，是否。1.1

3、.2一维搜索法当用迭代法求函数的极小点时，常常用到一维搜索，即沿某一已知方向求目标函数的极小点。一维搜索的方法很多，常用的有：（1）试探法（“成功—失败”，斐波那契法，0.618法等）；（2）插值法（抛物线插值法，三次插值法等）；（3）微积分中的求根法（切线法，二分法等）。考虑一维极小化问题专业知识分享WORD格式可编辑若是区间上的下单峰函数，我们介绍通过不断地缩短的长度，来搜索得的近似最优解的两个方法。通过缩短区间，逐步搜索得的最优解的近似值2.1.3梯度法选择一个使函数值下降速度最快的的方向。把在点的方向导数最小的方向作为搜索方向，即令.

4、计算步骤：（1）选定初始点和给定的要求，；（2）若，则停止计算，，否则；（3）在处沿方向做一维搜索得，返回第二步，直到求得最优解为止.可以求得：2.1.4共轭梯度法又称共轭斜量法，仅适用于正定二次函数的极小值问题：A为阶实对称正定阵从任意初始点和向量出发，由专业知识分享WORD格式可编辑和可以得到——能够证明向量——是线性无关的，且关于A是两两共轭的。从而可得到——，则——为——的极小点。计算步骤：（1）对任意初始点和向量，取（2）若，即得到最优解，停止计算，否则求（3）令；返回（2）2.1.5牛顿法对于问题：由则由最优条件当A为正定时，存在

5、，于是有为最优解2.1.6拟牛顿法对于一般的二阶可微函数，在点的局部有专业知识分享WORD格式可编辑当正定时，也可用上面的牛顿法，这就是拟牛顿法。计算步骤：（1）任取，（2）计算，若，则停止计算，否则计算，令；（3）令；返回（2）2有约束的非线性规划2.1非线性规划的最优性条件若是非线性问题中的极小点，且对点有效约束的梯度线性无关，则必存在向量使下述条件成立：此条件为库恩-塔克条件（K-T条件），满足K-T条件的点也称为K-T点。K-T条件是非线性规划最重要的理论基础，是确定某点是否为最优解的必要条件，但不一定是充要条件。对于凸规划它一定是充

6、要条件。2.2非线性规划的可行方向法由于线性规划的目标函数为线性函数，可行域为凸集，因而求出的最优解就是整个可行域上的全局最优解。非线性规划却不然，有时求出的某个解虽是一部分可行域上的极值点，但并不一定是整个可行域上的全局最优解。假设非线性规划问题中的一个可行解，但不是最优解，为了进一步寻找最优解在它的可行下降方向中选取其中一个方向，并确定最佳步长，使得专业知识分享WORD格式可编辑反复进行这一过程，直到得到满足精度要求为止，这种方法称为可行方向法，也称迭代法。2.3有约束非线性规划的解法2.3.1外点法（1）对于等式约束问题做辅助函数如果最

7、优解满足或近似满足则就是问题的最优解或近似解（2）对于不等式约束问题做辅助函数求.（3）对于一般问题做辅助函数求解2.3.2内点法内点法是在可行域内进行得，并一直保持在可行域内进行搜索，只适用于不等式约束的问题辅助函数：X趋于R的边界时，使趋向于正无穷，的常用形式求解专业知识分享WORD格式可编辑二．非线性规划的缺陷不足算法优点缺点梯度法计算量小，存储变量较少,初始点要求不高初值依赖，收敛慢，最速下降法适用于寻优过程的前期迭代或作为间插步骤，越接近极值点时，收敛熟读越慢，后期宜选用收敛快的算法牛顿法收敛速度很快当维数较高时，计算的工作量很大，

8、初值依赖，当初值选择不好时，有可能计算出现异常，导致迭代无法进行，该法需要修正拟牛顿法收敛速度快，避免牛顿矩阵求逆运算，算法更稳定初值依赖程度相对牛顿法减弱，但仍然