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1、简单的线性规划一.考纲要求：了解用二元一次不等式表示平面区域及简单的线性规划二.重点、难点：1.用二元一次不等式表示平面区域2.准确理解：（线性）约束条件，（线性）目标函数，可行解，可行域，最优解三．近年考点分析：简单线性规划考法相对稳定，主要是以填选题为主，08年开始在大题中有所体现。其考查方式主要集中在以下几个方面：根据约束条件：①求最值；②求面积；③求值域；④求整数解；⑤求参数；⑥简单运用。四．知识点回顾：1.二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0，坐标平面
2、内的点P（x0，y0）.B＞0时，①Ax0+By0+C＞0，则点P（x0，y0）在直线的上方；②Ax0+By0+C＜0，则点P（x0，y0）在直线的下方.对于任意的二元一次不等式Ax+By+C＞0（或＜0），无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数.当B＞0时，①Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0上方的区域；②Ax+By+C＜0表示直线Ax+By+C=0下方的区域.2.线性规划：（1）约束条件、线性约束条件：变量x、y满足的一组条件叫做对变量x、y的约束条件，若约束条件都是
3、关于x、y的一次不等式，则约束条件又称为线性的约束条件。（2）目标函数、线性目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数。若解析式是x、y的一次解析式，则目标函数又称线性目标函数。（3）线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。（4）可行域：满足线性约束条件的解（x、y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。（5）最优解：分别使目标函数取得最大值和最小值的解，叫做这个问题的最优解。3.线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：
4、（1）根据题意，设出变量x、y；（2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数z=f（x，y）；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系f（x，y）=t（t为参数）；第9页共9页（6）观察图形，找到直线f（x，y）=t在可行域上使t取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.y0x五．考点演练：1．例1：已知x,y满足约束条件（1）求x－2y的最值；解：设Z=x－2y，则y=,易知直线过点（1，1）时Z有最大值-1，过点（1，3）时Z有最小值-5.引申
5、：求的最大值（答案：3）（2）求x2+y2的最值；max=10,minx=2图1解：Z=x2+y2表示区域内的点到点O（0，0）的距离的平方，显然Zmax=(1-0)2+(3-0)2=10,Zmin=(1－0)2+(1－0)2=2.引申：①求（x+1）2+(y-2)2-3的最小值；(答案：1)②求点（2，-1）到平面区域的最小距离。(答案：)（3）求的取值范围；解：Z=表示过原点和区域内的点的直线的斜率的范围。Z[1,3]引申：求的取值范围。（提示：Z=，则Z[3，5]）（4）求平面区域的面积；解
6、：S=(3－1)×1=1引申1：已知函数，且，的导函数，函数的图象如图2所示.第9页共9页则平面区域所围成的面积是()A．2B．4C．5D．8解析：考查函数与导函数的关系，函数单调性及线性规划等知识。答案：BAxDyCOy=kx+B引申2:(09安徽)若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是()（A）（B）（C）（D）解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）∴△ABC=，设与的交点为D，则由知，∴∴选A。（1）求平面区域内
7、的整点个数；4解:平面区域内的整点有(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),共4个点.（2）当a>—1时，求函数f(x,y)=y-ax的最值；解:当-11时，过点（1，3）时fmax=3-a,过点（2，2）时fmin=2-2a(7).若在区域内有无数个点（x,y）可使Z=x+my取得最大值，则m=解:据题意,目标函数所表示的直线应与区域的边界重合,故m=±1.（8）若点（a，b）在以上平面区域内，则点(2a
8、-b,a+3b)到原点的最小距离是。解：∵点（a，b），∴，令第9页共9页∴从而转化为常规解法。例2：线形规划思想的运用在一个居民小区内设计一个边长为5米的菱形喷水池，规划者要求：菱形的一条对角线长不大于6米，另一条对角线长不小于6米。试问该菱形喷水池的两条对角线的长度之和的最大值为多少米？解:设两对角线的长度分别为a,b，则a,b应满足约束条件：求a+b的最大值。由线性规划知识易得a+b的最大值为14米。例3：（2007年湖南卷·理14题）设集合，则（1）的取值范围是；（2）若，
