《复变函数与积分变换》试题及答案

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1、年级专业：教学班号：学号：姓名：装订线课程名称：复变函数与积分变换考试时间：110分钟课程代码：7100031试卷总分：100分一、计算下列各题（本大题共3小题，每小题5分，总计15分）1、；2、；3、和它的主值二、（8分）设，函数在平面的哪些点可导？若可导，求出在可导点的导数值。三、（10分）证明为调和函数，并求出它的共轭调和函数。四、（25分，每小题各5分）计算下列积分：1．，：的正向；2．，：的正向；3．，：的正向；4．，：的正向；5．。五、（10分）将函数在下列圆环域内分别展开为洛朗级数（1），（2）六、（10

2、）1、求将上半平面Im(z)>0映射到单位圆域，且满足，的分式线性映射。2、平面的区域被映射映射到平面的什么区域？七、（5分）求矩形脉冲函数的傅氏变换。八、（6分）求的拉普拉斯变换。九、（5分）求的拉氏逆变换。十、（6分）利用拉氏变换（其它方法不得分）求解微分方程：第页共页一、参考答案及评分标准：（本大题共3小题，每小题5分，总计15分）1、2、3、主值是………………………………………………2二、参考答案及评分标准：（8分）解：，因为……………………2由柯西-黎曼方程得:,…………………………………………2即.所以在可

3、导.……………………………………………………2且………………………………………………………………2三、参考答案及评分标准：（10分）证明：，所以为调和函数.…………………………………………3由得，……………………………………2，由得……………………2故………………………………………………………1故……………………………………………………………2第页共页四、参考答案及评分标准：（每小题5分，共25分）1．2．3．……………………3+24．因为在c内无奇点，…………………………3所以：…………………………………25．………

4、…1………………2…………………………………………2五、参考答案及评分标准：（每小题5分，共10分）（1），…………………………2所以洛朗级数为……………3（2）…………2所以洛朗级数为………………3六、参考答案及评分标准：（每小题5分，共10分）第页共页1．解：将上半平面Im(z)>0映射到单位圆域的变换为为上半平面内点.又因为，，所以，………………………………2，故，……………………2所以……………………………………………………12．解：边界1：，，，故，…………1边界2：，，，故…………………………………1特殊点

5、：，……………………………………………………1……………………………………………………1作图……………………………………………………………………………………1七、参考答案及评分标准：（5分）解：……………………3+2八、参考答案及评分标准：（6分）解：九、参考答案及评分标准：（5分）解：……………………………………2…………3十、参考答案及评分标准：（6分）解：设，在方程的两边取拉氏变换并考虑初始条件得：，解得：………………3取逆变换得：第页共页……………………………………………………………3第页共页