复变函数与积分变换试题及答案

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1、南昌大学2008～2009学年第一学期期末考试试卷试卷编号：教77(A)卷课程编号：课程名称：复变函数与积分变换考试形式：闭卷适用班级：工科类姓名：学号：班级：学院：专业：考试日期：题号一二三四五六七八九十总分累分人签名题分151570100得分考生注意事项：1、本试卷共6页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。一、填空题(每空3分，共15分)得分评阅人1．设，则Imz＝。2.方程lnz=的解为。3．设C为正向圆周

2、z

3、=1，则

4、＝。4．幂级数的收敛半径为。第2页共36页5.奇点类型是。第2页共36页二．选择题(每题3分，共15分)得分评阅人1．复数的辐角为（　　）A.arctanB．-arctanC．π-arctanD．π+arctan2.设z=cosi，则（　　）A．Imz=0B．Rez=πC．

5、z

6、=0D．argz=π3．设函数f(z)=，则f（z）等于（　　）A．B．C．D．4．设Q（z）在点z=0处解析，,则Res[f(z),0]等于（　　）A．Q（0）　　B．－Q（0）　C．Q′（0）　D．－Q′（0）5．是函数f(

7、z)=的（　　）A．一级极点　　　B．可去奇点　　C．一级零点　　D．本性奇点3636三．计算题(每题10分，共70分)得分评阅人1.求的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)＝1。2．求其中C为不经过z=-1的任意简单闭曲线，n为整数。36363.试求函数f(z)=在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域。4.利用留数计算积分dz，其中C为正向圆周：＝4.36365.设.6.将内展开为洛朗级数。367.若复数的模相等且++=0.证明:构成等边三角形的三个顶点。36复变函数与积分变换试题（一）一、填

8、空（3分×10）1．的模，幅角。2．-8i的三个单根分别为：，，。3．Lnz在的区域内连续。4．的解极域为：。5．的导数。6．。7．指数函数的映照特点是：。8．幂函数的映照特点是：。9．若=F[f(t)]，则=F。10．若f（t）满足拉氏积分存在条件，则L[f(t)]=。二、(10分)已知，求函数使函数为解析函数，且f(0)=0。三、（10分）应用留数的相关定理计算四、计算积分（5分×2）1．362．C：绕点i一周正向任意简单闭曲线。五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。1．2．六、证明以下命题

9、：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。（2）七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x(0)=y(0)=z(0)=0的解y(t)。八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。36复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．，2.-i2i-i3.Z不取原点和负实轴4.空集5.2z6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.二、解：∵∴（5分）∵f(0)=0c=0（3分）∴（2分）三、解：原式=（2分）（2分）=0∴原式=（2分）=四、1．解：原式（3分）z1=0z2=1

10、=0（2分）362．解：原式=五、1．解：（2分）2．解：（1分）（2分）六、1．解：∵（3分）∴结论成立（2）解：∵（2分）∴与1构成傅氏对∴（2分）七、解：∵（3分）S（2）-（1）：∴（3分）∴八、解：①定义；②C-R充要条件Th；③v为u的共扼函数10分36复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f(z)在区域D内可导是f(z)在D内解析的（）条件。2．w=z2在z=-i处的伸缩率为（）。3．的指数表示式为（）。4．Ln(-1)的主值等于（）。5．函数ez以（）为周期。6．设C

11、为简单闭曲线，则=（）。7．若z0为f(z)的m级极点，则（）。8．若Ff(t)（）。9．与（）构成一个付立叶变换对。10．已知L，则L（）。二、计算题(7分×7)1．求p，m，n的值使得函数为解析函数。2．计算3．已知调和函数，求解析函数使得。4．把函数在内展开成罗朗级数。5．指出函数在扩充复平面上所有孤立奇点并求孤立奇点处的留数。366．计算7．利用留数计算积份三、积分变换（7分×3）1．设（为常数），求F[f(t)]。2．设f(t)以为周期，且在一个周期内的表达式为求L[f(t)]。3．求方程满足

12、条件的解。（L[e-t]=）。36复变函数与积分变换试题答案（二）一、1．充要条件2.23.4.5.6.原式=7．8.9.10.二、1.解：（3分）3m=p∴（1分）2．原式=（25分）3．原式=（2分）（2分）∴（2分）∴（1分）4．解：（2分）（2分）36∴（3分）5．解：（2分）（2分）（2分）（1分）6．解：原式（3分）（1分）7．解：原式=（2分）=（1分）=（1分）=（2分）=（1分）三、1．解：F[f(t)]（3分）（4分）2