《医用高等数学》中对数求导法的合理性与可行性探讨

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1、《医用高等数学》中对数求导法的合理性与可行性探讨【摘要】　　对数求导法是高等数学中求函数导数的一种重要的方法，其整体思路是当函数式较复杂（含乘、除、乘方、开方、指数函数、幂指函数等）时，可先在方程两边取对数，然后利用隐函数的求导方法求出导数。大多数教科书对方程两边同时取对数是否超越对数函数定义域允许范围都没作讨论，而这也是很多学生对对数求导法是否具备合理性与可行性质疑的焦点。就此问题展开讨论，验证了对数求导法的合理性与可行性。【关键词】幂指函数对数求导法显函数隐函数　　1引言　　高等数学中求函数导数中

2、一种重要方法就是对数求导法，它适用对象主要是连乘除、指数函数、幂函数。方法是，若求函数f(x)的导数，先取其对数，再对取过对数的函数求导，得到［lnf(x)］′=f′(x)f(x)，于是得到结果：　　f′(x)=f(x)［lnf(x)］′　　注意到，上面这个取对数的过程可能会遇见f(x)<0的情况，或者f(x)存在函数值为0的点，遇到上述两种情况时对数求导法是否依然适用？而大多数教科书对此都没作解释，而只是对方法加以介绍之后就引入若干例题，如科学出版社出版的《医学高等数学》，天津科学技术出版社出

3、版的《医用高等数学》等教材，再查高等教育出版社出版的《高等数学》，天津大学出版社出版的《高等数学》等教材也同样如此。善于思考的学生经常会有这样的疑问：如果f(x)≤0,那么这种方法岂不是不不合理了？实际上，我们可以证明不论f(x)如何选取，对数求导法都是具备合理性与可行性的。　　2准备工作　　所谓对数求导法，首先我们先从几个用对数求函数导数求解的例题着手，以此来给对数求导法做一个简单的介绍。　　例1用对数求导法求下列函数的导数：　　(1)y=xsinx；(2)y=xsinx1-ex；　　（3）y=5x

4、-55x2+2。(4)y=x+2(3-x)4(x+1)5;　　【对数求导法的原理】：利用指数函数的换底公式f(x)=elnf(x)。　　【对数求导法的方法】：在求显函数y=f(x)的导数之前，先取其对数化为隐函数，再对取过对数的函数利用隐函数求导法关于x求导，得(lny)′=f′(x)f(x)，于是可以得到结果：　　f′(x)=(lny)′·f(x)　　【对数求导法适用对象】：含若干因子乘、除、乘方、开方的函数；指数函数；幂指函数等。　　例如例1中（1）、（2）两例的求解过程如下：　　　　(1)解：在

5、y=xsinx两端同时取对数，得到　　lny=sinxlnx（1）　　在上式两端分别对x求导，并注意到y是x的函数，得　　1yy′=cosxlnx+sinxx　　所以，我们有　　y′=y(cosxlnx+sinxx)=xsinx(cosxlnx+sinxx)　　（2）解：在y=xsinx1-ex两端同时取对数，得到　　lny=12［lnx+lnsinx+12ln(1-ex)］（2）　　在上式两端分别对x求导，并注意到y是x的函数，得　　y′y=12［1x+cosxsinx+12-ex1-ex］，　　　

6、　于是　　y′=y［12x+cosx2sinx-ex4(1-ex)］　　=12xsinx1-ex［1x+cosxsinx-ex2(1-ex)］　　　其余两个例子我们可采取同样的方法对函数求导。　　　注意到：（1）式若有意义，要求必须有x>0，y>0,而原函数y=xsinx的定义域是x∈R，而且y的取值也可以是负数或者是零。同样，（2）式中若lnx有意义，则必有x>0，同样ln(1-ex)要有意义则必须有x<0。那么，从严格的角度来看，（2）式是无意义的。那么，是不是对数求导法对

7、这道题是不适用的呢？不是的，我们在下文将会对这个问题作出分析。　　3分析　　首先我们必须要知道对数求导法最初是有条件限制的，即：　　【对数求导法的必要条件】：f(x)>0　　在讲对数求导法的过程中，我们大多数老师会告诉学生，对数求导法有其必要条件f(x)>)。但是，一般来说，这个验证f(x)>0的过程是异常繁琐的，而且还会碰到f(x)≤0的情况，例如例题中的第（4）小题，当x取值小于等于5时。下面我们分别就f(x)<0和f(x)含取值为0的点这两种情况对数求导法的合理与可行性。

8、　　①f(x)<0时　　　　针对这种情况我们可以对函数取绝对值之后再利用对数求导法求解如下：　　［ln

9、y

10、］′=

11、f(x)

12、′

13、f(x)

14、=［-f(x)］′-f(x)=f′(x)f(x)　　∴f′(x)=［ln

15、y

16、］′·f(x)　　而我们知道［ln

17、y

18、］′=1y，所以实际上最终得到的结果和f(x)>0时是一样的。那么，我们是不是可以考虑把对数求导公式改写成先取绝对值再求导呢？这样，就可以避免了f(x)<0带来的尴尬。　　但是，我们