对数求导法与ln-f(x)

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1、对数求导法与ln*f(x)【摘要】利用对数求导法时会缩小函数（包括幂指函数）的定义域，如果不想分区间求导数，可重新定义（ln*f(x)）′=f′(x)f(x)(f(x)∈r），而求幂指函数导数还有更简单的公式.【关键词】对数求导法；ln*f(x)；u(x)v(x)与求极限和积分相比，一元函数的微分（导数）是一元函数微分学中最简单的部分.教学过程中，该部分内容处理起来也较为轻松.但仍有部分的细节问题被忽略了，比如：求函数导数时，是否要讨论函数的定义？利用对数求导法时会缩小函数的定义域，应该如何处理呢？1.对数求导法

2、对数求导法是高等数学中求函数导数的一种重要的方法，其整体思路是当函数式较复杂（含乘、除、乘方、开方、指数函数、幂指函数等）时，可先在函数两边取自然对数，再利用隐函数求导方法求导.取对数后改变了函数的定义域，但大多数教科书对函数两边同时取对数，是否超越对数函数定义域允许范围没作讨论，因此给学生留下了质疑的空间，也损害了教材乃至数学的严密性.这只是将可行性原因“显然”了，教师在讲解该部分内容时略作解释，学生就会豁然开朗.（1）

3、f(x)

4、与f(x)的定义域相同；（2）(ln

5、f(x)

6、)′=(lnf(x))′=f′(

7、x）f(x),(f(x)>0,f(x)0的情况.当x0的情况.设f(x)=u(x)v(x)求f′(x)，由复合函数求导法，得f′(x)=(ev(x)lnu(x))′=u(x)v(x)v′(x)lnu(x)+v(x)u(x)u′(x).由对数求导法（ln代替ln*）得：f′(x)=u(x)v(x)v′(x)lnu(x)+v(x)u(x)u′(x).公式法：f′(x)=v(x)u(x)v(x)-1u′(x)+u(x)v(x)ln(u(x))v′(x).此时，幂指函数的导数由两部分组成，即幂函数导数与指数函数导数的和.

8、公式法可以避免计算上的麻烦和不必要的讨论，但这种做法是巧合吗？实际上，设f(u,v)=uv,其中u=u(x),v=v(x).则dfdx=fududx+fvdvdx=v(x)u(x)v(x)-1u′(x)+u(x)v(x)ln(u(x))v′(x).基于以上讨论,无论f(x)符号如何，对数求导法所得结果不受f(x)符号的影响，同时f(x)零点的可导性也不会改变.所以利用对数求导法求导前可视之为正值取对数再求导，结果不受影响.利用对数求导法时，ln*(f(x)),(f(x)∈r)且(ln*f(x))′=f′(

9、x)f(x)，ln*在对数求导法中只与ln的定义域不同.当然为了符号统一可以用ln代替ln*，而幂指函数的导数用公式法求解是最好的选择.【参考文献】［1］海红.导函数性质及其应用.武警学院学报,2009(9):94.［2］同济大学数学系编.高等数学(第六版)上册.北京：高等教育出版社,2006:106-107.