《医用高等数学》中对数求导法的合理性与可行性探讨

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1、《医用高等数学》中对数求导法的合理性与可行性探讨【摘要】对数求导法是高等数学中求函数导数的一种重要的方法，其整体思路是当函数式较复杂(含乘、除、乘方、开方、指数函幂指函数等)时，可先在方程两边取对数，然后利用隐函数的求导方法求出导数。大多数教科书对方程两边同时取对数是否超越对数函数定义域允许范围都没作讨论，而这也是很多学生对对数求导法是否具备合理性与可行性质疑的焦点。就此问题展开讨论，验证了对数求导法的合理性与可行性。【关键词】幂指函数对数求导法显函数隐函数1引言高等数学中求函数导数中一种重要方法

2、就是对数求导法，它适用对象主要是连乘除、指数函数、幂函数。方法是，若求函数f(X)的导数，先取其对数，再对取过对数的函数求导，得到[Inf(x)]z(x)f(x)，于是得到结果f'(x)=f(x)[Inf(x)]注意到，上面这个取对数的过程可能会遇见f(x)2准备工作所谓对数求导法，首先我们先从几个用对数求函数导数求解的例题着手，以此来给对数求导法做一个简单的介例1用对数求导法求下列函数的导数：(1)y=xsinx；(2)y=xsinxl-ex;(3)y=5x-55x2+2o(4)y=x+2(3-

3、x)4(x+1)5:【对数求导法的原理】：利用指数函数的换底公式f(x)=elnf(x)o【对数求导法的方法】：在求显函数y=f(x)的导数之前，先取其对数化为隐函数，再对取过对数的函数利用隐函数求导法关于x求导，得(lny)'=f'(x)f(x),于是可以得到结果：f’(x)=(lny)’•f(x)【对数求导法适用对象】：含若干因子乘、除、乘方、开方的函数；指数函数；幂指函数等。例如例1中(1)、(2)两例的求解过程如下:(1)解：在y=xsinx两端同时取对数，得到lny=sinxlnx(1)

4、在上式两端分别对X求导，并注意到y是X的函数，得lyy7=cosxlnx+sinxx所以，我们有yr=y(cosxlnx+sinxx)=xsinx(cosxlnx+sinxx)(2)解：在y=xsinxl_ex两端同时取对数，得到lny二12[1nx+lnsinx+121n(l-ex)](2)在上式两端分别对x求导，并注意到y是x的函数，yry=12[1x+cosxsinx+12-exl-ex]，于是y’=y[12x+cosx2sinx~ex4(1-ex)]=12xsinxl-ex[lx+cosx

5、sinx-ex2(1-ex)]其余两个例子我们可采取同样的方法对函数求导。注意到：(1)式若有意义，要求必须有x>0,y>0,而原函数y=xsinx的定义域是xER,而且y的取值也可以是负数或者是零。同样，(2)式中若lnx有意义，则必有x>0，同样ln(l-ex)要有意义则必须有x3分析首先我们必须要知道对数求导法最初是有条件限制的，即：【对数求导法的必要条件】：f(x)〉0在讲对数求导法的过程中，我们大多数老师会告诉学生，对数求导法有其必要条件f(x)»0但是，一般来说，这个验证f(x)〉0的

6、过程是异常繁琐的，而且还会碰到f(x)<0的情况，例如例题中的第(4)小题，当X取值小于等于5时。下面我们分别就f(x)0时是一样的。那么，我们是不是可以考虑把对数求导公式改写成先取绝对值再求导呢？这样，就可以避免了f(x)0”这句话也省略了。②f(x)取值为0的点处这种情况，对数求导法也是没有问题的。首先，我们在利用对数求导公式对函数f(x)求导时，是默认的在f(x)的可导区间对其求导，例如，若1n

7、f(x)

8、=ln

9、x

10、o我们在利用公式(ln

11、x

12、)'=lx时，并不是没有考虑x=0，而是默认此

13、公式在x^O时成立。其次，导数的本质是一个极限运算，与函数值等于什么值是无关的，所以f(x)函数在“使f(x)=0的点x=x0”处完全也可能是可导的，此时怎么看待我们的对数求导法呢？此时对数求导法依然具有其合理性，其根据是“若f(x)在x=x0这个点处连续，且limx-xOf7(x)=A,则必有f'(x)=A”。下面我们可以先来看一个在“f(x)=O”的点处函数不可导的例子和一个在“f(x)=O”的点处函数可导的例子。例2设y=3(x-1)(x-2)(x+3)(x-4)，求y'。分析：注意到x=-

14、3，x=4是原函数的可去间断点，x=l,X=2是使“f(x)=O”的点，且f(x)在x=l，x=2点处是不可导的。如果直接利用复合函数求导公式求这个函数的导数，将是很复杂的，下面我们看一下用对数求导法求解本题。解：先将方程两边取对数，得1ny=13[ln(x—l)+ln(x-2)-In(x+3)-In(x~4)]再对上式两边同时对x求导，得lyy’=13(lx-l+lx-2-lx-3-lx-4)•••y'=y3(lx-l+lx-2-lx+3-lx-4)=13(x-1)(x—2)(x