开题报告--格朗沃尔不等式（引理）的应用

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1、海南师范大学本科毕业论文开题报告表论文题目：格朗沃尔不等式（引理）的应用学院：数学与统计学院系别：数学系专业：数学与应用数学学生姓名：田文静学号：200805101135指导教师：李满枝（讲师）填表时间：2011年12月29日填表说明：1．本科生原则上应于第七学期结束之前完成毕业论文（设计）的选题和开题工作。2．本表由学生在开题报告经指导教师指导和指导教师小组集中开题指导并修改后填写。指导教师和指导教师小组在学生填写后，应在本表相应栏目里填写确认性意见。本表最后由系（部）盖章备案保存。3．学生应执行本表撰写毕业论文（设计），不得作实质性改变。

2、学生须在所在系（部）规定的时间内完成毕业论文（设计）并参加答辩。4．本表可从教务处网页上下载。学生可用黑色水笔认真填写，做到填写整洁、正确，也可用电子表格填写。一、选题的类别（）基础研究（）应用研究（√）应用理论研究二、选题依据及研究意义总所周知，在数学中，格朗沃尔引理或格朗沃尔不等式说明了对于满足一定的程微分方程或积分方程的函数，有相应的关于此微分方程或积分方程的不等式。格朗沃尔不等式有两种形式，分别是积分形式和微分形式。格朗沃尔不等式常常被用来估计常微分方程的解的取值范围。三、选题的研究现状及主要参考文献研究现状：格朗沃尔不等式的微分形式

3、首先由格朗沃尔在1919年证明。设I是一个实数区间，记为：[a, ∞)或[a, b]或[a, b)，其中a < b。又设β和u为定义在I上的实数值的连续函数。假设u是一个在I的内部（也就是不包括端点）可微的函数，并且满足如下的微分不等式：那么对于所有的，函数u都小于等于以下微分方程的解：而积分形式则是由理查德·贝尔曼（RichardBellman）在1943年证明。设I是一个实数区间，记为：[a, ∞)或[a, b]或[a, b)，其中a < b。又设α、β和u为定义在I上的实数值的函数。假设β和u是连续的，则有：·(a)如果 β是非负函数并

4、且u满足如下的积分不等式：，那么。·(b)如果在之前的条件下，α还是一个常数，那么主要参考文献：·楼红卫，林伟，《常微分方程》，复旦大学出版社，2007年，ISBN：·李荣华，刘播，《微分方程数值解法(第4版)》，高等教育出版社，2009年。四、拟研究的主要内容、创新点、重难点及研究思路主要内容（思路）：1、通过追溯朗格沃尔不等式（引理）的历史，总结出它试用范围和应用。2、简单介绍朗格沃尔不等式（引理）的证明及过程。3、提供具体的朗格沃尔不等式的问题，并实际举例来验证其应用。4、完成论文的整理及撰写。重难点：用朗格沃尔不等式（引理）本身的证明

5、过程，观察并验证，总结其试用范围和解题特点，进行归纳。然后再查找资料来验证归纳的正确性。五、研究进程安排2011年9月初-2011年9月中旬：决定论文方向。2011年9月中旬-2011年12月底：收集与论题有关的研究资料，进行分析、归类并且筛选有价值的信息，决定论文题目，制定课题计划。2012年3月初-2012年5月初：完成论文初稿，交给指导老师初阅。2012年5月初-2012年5月中旬：论文修改，交给指导老师批阅。2012年5月中旬-2012年5月末：根据教师的意见对论文作进一步修改、完善并定稿，准备答辩。六、其他说明主要应用的研究方法：文

6、献资料法、比较研究法等相结合的综合研究方法。研究成果形式：论文形式七、指导教师意见指导教师签字：年月日八、指导教师小组意见指导教师小组负责人：年月日九、系毕业论文(设计)领导小组意见领导小组组长签字：年月日