黎曼-勒贝格引理的推广

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1、黎曼－勒贝格引理的推广摘要：本文主要是通过对黎曼-勒贝格引理的思考,从而得出更一般化的结论:若在绝对可积，满足：（1）是以为周期的函数；（2）在一个周期内黎曼可积且，则有1、引言黎曼-勒贝格引理如下：若在绝对可积，则下面对该引理作一些直观上的分析思考.此结论看起来似乎不容易想象其过程，实际上，认真观察一下，还是能发现其中的玄机的。首先，注意到函数sinx和cosx都是周期为T=2π的周期函数且，　　。考察g(x)sin(px),当t的变化量为时，sin(pt)经过了一个周期.而(),且由g(t)在[a,b]绝对可积,可以想象若不是瑕点,有

2、当然，这不是严格的数学证明，但至此，大家已经能较好地想象的积分过程了。2、黎曼-勒贝格引理的推广由上，我们可以大胆地猜想以下结论：定理1若g(t)在[a,b]绝对可积，则对函数f(x),只要满足（1）f(x)为周期函数（记周期为T）　（2）f(x)在一个周期内黎曼可积且积分为零，即，就有为证明定理，对满足定理条件的函数，先给出几个引理。引理１：在任意一个周期长度的区间的积分为０，即有证明：　因为　令有　　　从而。引理２：，对任意的和，有。证明：不妨设。令有。记，其中为正整数，，则由引理1有因为是周期函数且在一个周期内黎曼可积，则有界，即使

3、得　　，故｜｜＝｜｜,令G＝MT　引理2得证。下面给出定理的证明：因为是周期函数且在一个周期内黎曼可积，则有界，即使得　　，。先设在黎曼可积．给以分法：记，则其中为在的振幅，．由黎曼可积知，对任给的，存在分法使得，对这个分法，是确定的数，只要，就有即。再讨论在是绝对收敛的瑕积分的情形.不妨设瑕积分有唯一瑕点x=a,则>0，，使得则对上述，由于在黎曼可积，由已证结论知，故存在，只要，有从而，故。定理证毕。对此结论进一步拓展，有下面的定理2。定理2若g(t)在[a,b]绝对可积，则对函数f(x),只要满足（1）f(x)为周期函数（记周期为T）

4、　（2）f(x)在一个周期内黎曼可积且积分则有事实上，只要令h(x)=f(x),则h(x)满足定理1的条件，（因为从而故。参考书目：[1]《数学分析简明教程》邓东皋，尹小玲。高等教育出版社，1999年第1版。