拉格朗日方程的应用

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1、F拉格朗日方程的应用例1．质点被约束在一个光滑的平面上运动，质点上系着一根长度为的轻绳，绳子穿过平面上的小孔，另一端系着质量为的指点，讨论质点的运动情况解：该系统属于理想约束完整体系，自由度为2，选取广义坐标，系统的动能：系统的势能：应用约束方程约去z96代入得到：代入得到：96例2．质量为的滑块，被约束在水平的光滑平面上，沿Ox轴滑动，滑块下带有一个质量为的平面单摆，摆长为l，求运动方程：解：的自由度为1，的自由度为1，总自由度为2体统是理想约束完整体系，选取广义坐标：，：（a）96拉格朗日函数对于：得到：对于：得到：96滑块通过一个劲度系数为k的弹簧连接。（b）9

2、6滑块做简谐振动。自由度为1。取（c）96例3．一个光滑杆，在铅直平面Oyz内以角速度绕ox轴转动，一个质点约束在杆上运动，时，，求质点运动规律和约束反力解：体系的自由度为1约束方程为：取广义坐标为：在极坐标中：对于光滑杆我们可以设线密度为，质量为：96绕ox轴转动的转动惯量杆的转动动能：杆的质心高度：（1）质点的动能：质点的势能：（2）杆的动能：杆的势能：系统的拉格朗日函数96带入拉格朗日方程得到：二阶线形非齐次微分方程通解为：应用初始条件可以得到：96应用牛顿运动方程：96在一光滑的平面上竖直固定一半径为的圆柱体，设长为轻绳一端固定在柱底面的点，另一端系着质量为的

3、小球，小球在平面上以垂直于绳子的方向的初速度为运动。（1）写出体系的拉格朗日函数（2）小球碰倒主体时的位置和消耗的时间例4．解：（1）自由度：平面运动的质点的自由度为2，现在受到绳子的约束所以自由度为1（2）质点受重力（主动力）和绳子的拉力（约束力）均为保守力，（3）系统是理想约束，完整体系（4）取为广义坐标96拉格朗日量为：带入拉格朗日方程96即：若不考虑质点势能：代入拉格朗日方程：暂时不考虑点，9696例5．如图所示的系统中轮A沿水平面纯滚动，轮心以水平弹簧联于墙上，质量为的物块C以细绳跨过定滑轮B联于点A。A，B两轮皆为均质圆盘半径为R质量为弹簧刚度为k质量不计

4、当弹簧较软在细绳能始终保持张紧的条件下求此系统的运动微分方程解：此系统具有一个自由度，以物块平衡位置为原点，取x为广义坐标如图，以平衡位置为重力零势能点，取弹簧原长处为弹性力零势能点，系统在任意位置x处的势能为：其中为平衡位置处弹簧的伸长量。96由运动学关系式当物块速度为时，轮B角速度为，轮A质心速度为，角速度亦为此系统的动能为：系统的拉格朗日函数为：代入拉格朗日方程96注意到时：例6．如图所示的运动系统中，重物的质量为，可沿光滑水平面移动；摆锤的质量为，两个物体用无重杆连接，杆长为l。试建立此系统的运动微分方程。解：该系统有两个自由度，选取和为广义坐标96选质点在最

5、低处时的位置为系统的零势能位置96把以上结果代入拉格朗日方程中如果质点摆动很小,可以近似地认为且可以忽略含和的高阶小量96上式可以写成：消去有：这是自由振动方程：96如果，则质点的位移将很小质点的摆动周期将趋于普通单摆的周期：将式代入中将代入上式：可见质点沿x方向也作自由振动。96拉各朗日方程对平衡问题上的应用质量为、固有长度为，劲度系数为的弹性圈，放在顶角为的光滑铅直圆锥体上，求平衡时弹性圈的位置？解：自由度为1，广义坐标：取弹性圈距离锥体定点的距离，体系的势能：（重力势能）；（弹性势能）平衡条件：例7.96所以：96例8．如图,重量忽略不计的五根杆，当点受一个铅直

6、向下的力时，杆和所受的力？解：约束力看成主动力，约束解除，自由度增加1去掉和的约束，用主动力代替，该系统自由度为1。取广义坐标由得到：96；；；；带入上式：96带电粒子在电磁场中的运动若体系所受到的力不是保守力则拉格朗日方程为：其中中既包含保守力又包含非保守力，令其中为保守力部分，为非保守力部分。可以将保守力部分用下式表示：96取拉格朗日函数拉格朗日方程为：若非保守力可以写成：其中为待定函数令则拉格朗日方程为：96例：带电粒子在电磁场中的运动设电场：；磁场：；对于带电粒子：电荷：；速度：Lorentz力：Maxwell方程：Lorentz力是非保守力：9696因此带电

7、粒子在电磁场中的运动应该通过将洛伦兹力构建，进而写出新的拉格朗日函数。步骤（1）引入矢势，是否可以进行上书定义呢？数学上因为：因此引入的满足Maxwell方程中：可以做上述定义。9696带入得由恒等式：，我们可以对上式定义一个标量函数：：电磁场的矢势：电磁场的标势96因为：；；；将和带入洛伦兹力公式：为了更清楚地看到广义势能的表达式，我们取直角坐标系：对于x分量：96则洛伦兹力在x方向的分量：矢势，其中，是粒子在t时刻的空间位置，所以：带入上式可得：96由于和不是的函数：96比较拉格朗日函数可以写成：96例：96分析上述结果：若带电粒子沿方向入射。（