拉格朗日方程

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1、专题：拉格朗日方程Lagrange’sequations2012年5月25日Friday理论力学CAI1§1.动力学普遍方程(Thegeneralequationofdynamics)由n个质点组成的理想约束的系统。根据达朗贝尔原理，有FFF0(i,2,1,n)iNiIi令系统有任意一组虚位移：δr(i,2,1,n)i代入虚功原理，得到动力学普遍方程：n(Fimiai)δri0(i,2,1,n)i1或n((Fximixi)δxi(Fyimiyi)δyi(Fzimizi)

2、δzi)0i1理想约束条件下，质点系在任一瞬时所受的主动力和虚加的惯性力系在虚位移上所作虚功之和等于零。2012年5月25日Friday理论力学CAI2例16-1滑轮系统，绳子和滑轮的重量不计，忽略摩擦。重物m，m，求12m下降的加速度。2解：为一自由度系统取系统为研究对象，系统具有理想约束。ma22设重物m下降的加速度a，其虚位移为22s2a2aa2δs2am1a11δs1212s2m2gs系统施加惯性力1mg1由动力学普遍方程：δW(mgma)δs(mgma)δs0222211114m2m21得ag2

3、2012年5月25日4m2m1Friday理论力学CAI3§2拉格朗日方程1.两个拉格朗日关系式由n个质点组成的系统，系统具有s个理想的、且为完整的约束，系统的广义坐标数为f=3n-s。第i个质点的位矢为：rr(q,q,,q,t)，i,2,1,nii12ffrrii两边对时间t求导riqjj1qjtrr上式两边再对qj求偏导得iiqqjj即，任一质点的速度对广义速度的偏导数等于其矢径对广义坐标的偏导数，称为第一个拉格朗日关系式。2012年5月25日Friday理论力学CAI4f

4、rrii式riqjtj1qj对任意一个广义坐标q求偏导数a2f2rrriiiqjqatqaj1qjqa2f2dririri即qjqadtqatj1qaqj交换求导次序，先将位矢对任意一个广义坐标q求偏导数，再对a时间求导数，则得到2f2drrriiiqjdtqaqatj1qaqj位矢交换求导次序后相等drr任一质点的速度对广义坐标的偏导数等于iidtqq其矢径对广义坐标的偏导数，再对时

5、间的jj一阶导数，称为第二个拉格朗日关系式。2012年5月25日Friday理论力学CAI52拉格朗日方程由动力学普遍方程n(Fimiai)δri0(i,2,1,n)i1第i个质点的位矢riri(q1,q2,,qf,t)，i,2,1,nfr第i个质点的虚位移iδriδqj,i,2,1,nj1qj代入动力学普遍方程：nffrrii(Fimiai)δqj0i11jqjj1qj(i,2,1,n；j,2,1,f)2012年5月25日Frida

6、y理论力学CAI6nffrrii(Fimiai)δqj0i11jqjj1qj(i,2,1,n;j,2,1,f)改变求和次序，动力学普遍方程变为：fnrnriiFi(miai)δqj0j11iqji1qj(j,2,1,f;i,2,1,n)fnri即Qj(miai)δqj0j1iqjfQjQIjδqj0j12012年5月25日Friday理论力学CAI7广义惯性力nn22rdrrr

7、riiiiiQIj(miri)mi(riri)i1qji1dtqjqjtqjtn2n2drrrriiiimi(ri)mirii1dtqjqjti1qjtnndrdrQ(mri)mr(i)又有两个关系式：Ijiiiidti1qji1dtqjrriidnrnr(mri)mr(i)qqiiiijjdti1qji1qjdnmv2nmv2drr(ii)

8、(ii)iidtqi12qi12dtqjqjjjnmv22系统动能Tiirrviiii12dTT广义惯性力写成动能的函数QIjdtqq2012年5月25日jjFriday理论