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1、矩阵方程的定秩解及其最佳逼近问题第1章绪论对于矩阵方程,刘瑞娟利用矩阵对的商奇异值分解,得到了解非空的充要条件和解的最大(小)秩.1955年Penrose得到了有解的充要条件和通解的表达式;1970年Lnacaster利用Kornecker乘积和拉直映射也得到了它的一般解的条件和显式解;1976年，S.K.Mitra研究了它的Hermitian解及非负定解的条件,并给出了两种解的表达式;1990年,戴华研究了此方程在对称矩阵集合中的求解问题，利用矩阵对的广义奇异值分解得到了问题有对称解的条件和解的表达式；邓远北、彭向阳、雷渊等系统地研
2、究了此方程在对称化矩阵、（反）对称矩阵、半正定矩阵、正交（反）对称矩阵、（反）自反矩阵集合中的等式约束解以及最小二乘解；2003年,廖安平利用广义奇异值分解研究了它在对称半正定矩阵集合中的最小二乘解;2004年,彭亚新用迭代法系统地研究了矩阵方程的一般解对称解(反)中心对称解(反)自反解双对称解与对称次反对称解等问题.对于矩阵方程的定秩解问题及其最佳逼近,1972年，S．K．Mitra提出了线性矩阵方程(组)的定秩求解问题；于1984年，SujitKumarMitra利用空间有关理论及秩的相关不等式，给出了矩阵方程组的极小秩及其它定秩
3、的通解;Uhlig于1987年给出了矩阵方程的可能秩的解；于1990年Mitra研究了矩阵方程组,的公共解的最小秩；Gross使用了广义逆给出了矩阵方程的最大秩和最小秩的Hermitian非负定解;XiaoQF,HuXY,ZhangL于2009年研究了矩阵方程的对称最小秩解和最佳逼近解;2007年,雷渊利用矩阵对的广义奇异值分解和标准相关分解研究了以下不相容矩阵方程和矩阵方组,,,的最小二乘问题等价转换为相容矩阵方程的求解问题,并得到了相应的最小二乘解的表达式;于2009年，肖庆丰对矩阵对利用广义奇异值分解，研究了矩阵方程的自反、反自
4、反、中心对称、反中心对称矩阵的定秩求解的问题及最小秩解的最佳逼近问题，还研究了矩阵方程的对称、反对称矩阵反问题的定秩求解问题，并得到了相应的成果.第2章秩约束下矩阵方程的一般解及其最佳逼近2.1引言秩约束下矩阵的求解问题是线性代数的重要研究课题之一.关于矩阵方程的在秩约束下的一般解、最小秩和最小秩解的通式及其最佳逼近解、最大秩和最大秩解的通式.本章采用了RSVD分解,对矩阵方程的一般解的秩的情况进行了详细的分析,成功地获取了解的最大(小)秩及其定秩解的表达式.利用相应的结果,也获得了最小秩解的表达式和唯一最佳逼近解的表达式.2.2提出
5、问题问题I给定矩阵，非负整数，(i)求,使得，且;(ii)若有解,设,求使得,以及.问题II给定,求使得2.3解决问题2.3.1问题Ⅰ的解给定矩阵，记:引理2.3.1(RSVD定理)给定矩阵,则存在非奇异矩阵及正交矩阵，使得(1.1)其中，，，其中.于是有如下定理:定理2.3.1设矩阵分解如引理1，非负整数，则矩阵方程有解的充要条件是:，(1.2)若矩阵方程有解,则有(1)矩阵方程的通解表达式为:,(1.3)其中是具有相应维数的任意矩阵,见引理1.(1)矩阵方程的解矩阵中最小秩及最小秩解为:最小秩为,(1.4)且最小秩解为:,(1.5
6、)其中是具有相应维数的任意矩阵,见引理1.(3)矩阵方程的解矩阵中最大秩及最大秩解为:最大秩为,要考虑两种情况：第一，当时，，(1.6)且相应的最大秩解为:,(1.7)其中,是具有相应维数的任意矩阵，我们总可以选取为行满秩或列满秩,见引理1.第二，当，,(1.8)且相应的最大秩解为:,(1.9)其中,是具有相应维数的任意矩阵，我们总可以选取为行满秩或列满秩,见引理1.(1)也要分两种情况:第一,对于,矩阵方程的解矩阵中具有秩为的解为:,(1.10)其中是具有相应维数的任意矩阵,见引理1,我们可以选使得.第二,对于,矩阵方程的解矩阵中具
7、有秩为的解为:,(1.11)其中是具有相应维数的任意矩阵,见引理1,我们可以选使得.证明给定,RSVD分解由引理1给出，则令,则有将作如下分块:,则，在上式中，由的任意性，得到因此，矩阵方程是可解的(1)易知若矩阵方程是有解,即时,则解的一般表达式为,其中,其中是具有相应维数的任意矩阵,见引理1.(2)记为相容矩阵的解集合,即;由高斯块变换，得,则有，因此有，容易得知:,且最小秩解为:,其中是具有相应维数的任意矩阵,见引理1.记为相容矩阵的最小秩解集合,即(3)由(2)中的矩阵可得,矩阵方程的解矩阵中最大秩为:要考虑两种情况：第一，当
8、时，，且相应的最大秩解为:,其中,是具有相应维数的任意矩阵，我们总可以选取为行满秩或列满秩,见引理1.第二，当，,且相应的最大秩解为:,其中,是具有相应维数的任意矩阵，我们总可以选取为行满秩或列满秩,见引理1.(1)也要
