有关矩阵方程AXB问题的探究.docx

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1、上海大学2012～2013学年冬季学期课程论文课程名称：线性代数与几何(1)(基础班)课程编号：01014108论文题目:有关矩阵方程AX=B问题的讨论作者姓名:王文涛学号:12123405成绩:论文评语:评阅人:评阅日期:注:后附课程论文的正文有关矩阵方程AX=B问题的讨论作者姓名:王文涛学号:12123405摘要:：线性代数是代数学的一个分支，它以矩阵理论为中心，而矩阵方程是应用最广泛的一类方程。：作为线性方程组的解的理论的推广，本文给出了矩阵方程AX=0解的结构、解的性质和矩阵方程AX=B有解的充要条件。关键词:：矩阵方程

2、解的判定解的结构我们知道线性方程组可写成矩阵形式：Ax=b，其中A为m×n矩阵，b为m维列向量，x为未知的n维列向量。现将向量b推广到矩阵B，即得到矩阵方程：AX=B，其中A为m×n矩阵，B为m×s矩阵，X为未知的n×s矩阵。根据线性方程组与矩阵方程的紧密联系，我们对矩阵方程AX=B提出与线性方程组相同的两个力所能及的问题：第一，矩阵方程有没有解，有解的充要条件是什么；第二，矩阵方程若有解，有多少个。本文的分析正是基于对以上问题的思考来进行的。首先，我们来证明矩阵方程AX=B有解的充要条件。设A和B分别是给定的m×n和m×p矩阵

3、，X是n×p未知矩阵。证明：矩阵方程AX=B有解的充要条件是：rankA=rank[A,B]，其中[A，B]是A和B并排成的矩阵。证：记B=[β1,β2,⋯,βp]，其中β1是矩阵B的第j列形成的m维列向量，j=l,2,⋯,P，记X=[α1,α2,⋯,αp]，其中αj是矩阵X的第j列，形成n维的未知向量，j=1,2,⋯,P。考虑Aα1,α2,⋯,αj=β1,β2,⋯,βj,j=l,2,⋯,p。现对j用归纳法证明，矩阵方程Aα1,α2,⋯,αj=β1,β2,⋯,βj有解的充要条件是rankA=rank[A,β1,β2,⋯,βj]。

4、当j=1时，结论显然成立，因为矩阵方程即为Aα1=β1，这是通常的线性方程组。设结论对j-1成立。考虑矩阵方程Aα1,α2,⋯,αj=β1,β2,⋯,βj，它有解的充要条件是：Aα1,α2,⋯,αj-1=β1,β2,⋯,βj-1与Aαj=βj都有解。由归纳假设，使这两个矩阵方程有解的充要条件是：rankA=rank[A,β1,β2,⋯,βj-1]与rankA=rank[A,βj]，这表明β1,β2,⋯,βj均可由矩阵A的向量的极大线性无关向量组线性表出，因此rankA=rank[A,β1,β2,⋯,βj]，即结论对j也成立。那么

5、证明了有解及其充要条件，接下来我们来探讨解的个数。先要引入一个定义m×(n+s)矩阵（AB）称为矩阵方程AX=B的增广矩阵，用表示。那么，若m≥n且RA=R=n时，则矩阵方程AX=B有唯一解。因为：设W为矩阵A的列向量生成的子空间，α1,α2,⋯,αn为A的列向量，β1,β2,⋯,βn为B的列向量。R（A）=n，所以α1,α2,⋯,αn线性无关，从而α1,α2,⋯,αn是W的一组基。又RA=R，所以B的每一列βj∈W，从而βj能由W的基线性表示，且表示法唯一。因此，矩阵方程AX=B有且仅有一个解。若RA=R=r

6、X=B有无穷多解。因为RA=R=r，所以=AB可以经由初等行变换和前n列的第一种初等变换变为的形式，此处的O为n×s的零矩阵。由线性方程组知识，可得矩阵方程ICOO=与矩阵方程AX=B同解。上式等价于X1+CX2=B1则X1=B1-CX2其中X1为r×s矩阵，X2为n-r×s矩阵，C为r×n-r矩阵，B1为r×s矩阵。因为r0，所以X1存在，此时X2可以为任意的n-r×s矩阵所以由X1=B1-CX2可得AX=B有无穷解。通过上面的讨论我们可以得到以下矩阵方程AX=B的解的存在定理：设=AB（1）：若RA

7、程无解；（2）：若RA=R=n时，方程有唯一解；（3）：若RA=R

8、ORTHOMIN)方法中周期地重开始：每k+1次迭代，用当前的第j次重开始的结果xjl作为新的i+1次重开始的初始向量，这时只要存贮k个方向向量。我们称这个重开始的GCR(或ORTHOMIN)方法为GCR(k)(或ORTHOMIN(k))。可以证明，只要矩阵A是