2017年自招与三位一体专题

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1、2017年自招与三位一体专题第十三讲排列组合与二项式定理在近年自主招生试题中，排列组合、二项式定理是自主招生必考的一个重要内容之一。一、知识精讲1.分类加法原理（加法原理）:.2.分步计数原理（乘法原理）:.3.排列数公式:==.(，∈N*，且)．注:规定.4.排列恒等式：（1）；（2）；（3）；(4).5.组合数公式：===(，，且).6.组合数的两个性质：(1)=；(2)+=；注:规定.7.组合恒等式（1）；（2）=；（3）；(4)；(5)；(6)；8.排列数与组合数的关系：.9.二项式定理：;二项展开式的通项公式：.1.几个基本组合恒等式：①；②；③；④；⑤；⑥（范德蒙公式）。

2、2.不尽相异的个元素的全排列：在个元素中，有个元素相同，又另有个元素相同，。。。。，一直到另有个元素相同，且，这个元素的全排列叫做不尽相异的个元素的全排列。不难得到，此全排列数计算公式为：。3.从个元素里取个元素的环排列：从个不同元素中任取个元素按照圆圈排列，这种排列叫做从个元素里取个元素的环排列。如果元素之间的相对位置没有改变，它们就是同一种排列。把一个个元素的环在个不同的位置拆开，即得个不同的线排列。由于个不同元素中任务个元素的排列方法种，所以个不同元素中任取个元素的环排列方法有种。特别地，个不同元素的环排列方法有（种）。►注：排列数，有些地方也记为。4.一次不定方程的非负整数解

3、的个数等于（或）；正整数解的个数等于（或）。5.错位排列问题：设集合，所有元素的一种全排列，满足，则称这样的排列为错位全排列。用表示错位全排列总数，则。6.排列、组合应用题常用的解法有：①运用两个基本原理（加法原理、乘法原理）；②特殊元素（位置）优先考虑；③捆绑法；④插入法；⑤排除法；⑥机会均等法；⑦转化法。1.证明组合恒等式的常用方法有：①赋值法；②母函数法；③构造组合模型法。三、典例精讲例1．（2009华南理工）在的展开式中，的系数为（）。（A）（B）（C）（D）►答案A►分析与解答：的系数。例2．（2011“卓越联盟”）数列共有11项，，且。满足这种条件的不同数列的个数为（）（

4、A）100（B）120（C）140（D）160►分析与解答：依题意，或，设有个1，则有个-1，依题意知：，所以。从而所有这样的数列个数为。故选B。例3．（2006复旦）对于一个四位数，其各位数字至多有两个不相同，试求共有多少个这种四位数？►分析与解答：[来源:Z.xx.k.Com]显然，四位数全部相同的四位数恰有9个，下面考虑四位数字恰有两个不同数字的四位数，分三个步骤考虑：第一步，先考虑千位数字，有9种可能取法：1,2,3，。。。9第二步，再考虑百位、十位、个位上的数字，由于恰有两个不同数字，故除了千位数字外，再从中选出1个数码。第三步：前两步两个数码确定后，再对个位、十位、百位上

5、的数字进一步确定；这三个位置上分别各有2种可选择性，但要去掉一种情况：即个位、十位、百位上的数码选出的都和千位数字完全相同，故有种选法。综上，共有四位数个。例4．（2007复旦）三边均为整数，且最大边长为11的三角形共有（）个。（A）20（B）26（C）30（D）36►答案：D►分析与解答：不妨设三边长为，且，则。若，，共1个；若，共2个；若，共3个；若，共4个；若，共5个；若，共6个；[来源:学科网ZXXK]若，共5个；若，共4个；若，共3个；[来源:学#科#网Z#X#X#K]若，共2个；若，共1个。故共有个。例5．（2010同济）若多项式，则。►答案：-10►分析与解答：考虑两边

6、的系数，易知。再考虑两边的系数，右边。左边的系数为0，所以。例6．（2008上海交大）中的系数为。►答案：►分析与解答：原式，故的系数为。例7．（2008上海交大）通信工程中常用元数组表示信息，其中或1（）。设，表示和中相对应的元素不同的个数。（1）问存在多少个5元数组，使得；（2）问存在多少个5元数组，使得；（3）令，求证：。►分析与解答：（1）满足条件的数组共有个。（2）满足条件的数组共有个。（3）设中对应项同时为0的共有个，同时为1的共有个，从而对应项一项为1、一项为0的共有个，这里，从而。而，得证。例8．8个女孩和25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，问共有多少

7、种不同的排列方法（只要把圈旋转一下就重合的排法认为是相同的）.►分析：以1个女孩和2个男孩为一组，且使女孩恰好站在两个男孩中间，余下的9个男孩和这8个组被看成是17个元素，显然这17个元素任意的圆排列是满足题意的．►分析：先从25个男孩中选出9个男孩共有种可能。其次，上述17个元素的圆排列数为种.再次，分在8个组内的16个男孩在16个位置上的排列是，所以总的排列方法数为：．例9．（2012“北约”）求证:对任意的正整数，必可表示成的形式，其中。►分析与解答