2017年自招与三位一体专题

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1、2017年自招与三位一体专题第十四讲概率统计、随机变量在近年自主招生试题中，排列组合、二项式定理、概率统计是自主招生必考的一个重要内容之一。一、知识精讲一．随机事件的概率1.随机事件在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，随机事件一般用大写英文字母等来表示；2.确定事件（1）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；（2）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；必然事件和不可能事件合起来称为确定事件。3.事件A的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，作P（A）.由定义可知0≤P（A）≤1，显

2、然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。4.等可能性事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件，通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成。如果一次试验中可能出现的结果有n个，即此试验由n个基本事件组成，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一基本事件的概率都是。如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率P（A）=。►说明：使用公式P（A）=计算时，确定m、n的数值是关键所在，其计算方法灵活多变，没有固定的模式，可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗漏。二．互斥事件的概率1.相关概念（1）互斥事件：不

3、可能同时发生的两个事件叫互斥事件；（2）对立事件：其中必有一个发生的互斥事件叫对立事件。2.对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：（1）互斥事件研究的是两个事件之间的关系；（2）所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；（3）两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的。从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集。对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即A∪=U，A∩=.对立事件一定

4、是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。2.事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的，因此当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥），且有P（A+）=P（A）+P（）=1。当计算事件A的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有P（A）=1－P（）。对于n个互斥事件A1，A2，…，An，其加法公式为P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）。►说明：分类讨论思想是解决

5、互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想。三．独立事件的概率1.相关概念（1）相互独立事件：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫相互独立事件。（2）独立重复实验：如果在一次试验中某事件发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为Pn（k）=Cpk（1－p）n－k。2.关于相互独立事件也要抓住以下特征加以理解：（1）相互独立也是研究两个事件的关系；（2）所研究的两个事件是在两次试验中得到的；（3）两个事件相互独立是从“一个事件的发生对另一个事件的发生的概率没有影响”来确定的。►注意互斥事件与相互独立事件是有区别的：两

6、事件互斥是指同一次试验中两事件不能同时发生，两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生。3.事件A与B的积记作A·B，A·B表示A与B同时发生。当A和B是相互独立事件时，事件A·B满足乘法公式P（A·B）=P（A）·P（B），还要弄清·，的区别。·表示事件与同时发生，因此它们的对立事件A与B同时不发生，也等价于A与B至少有一个发生的对立事件即，因此有·≠，但·=。1.离散型随机变量的分布列：一般地，设离散型随机变量可能取的值为，取每一个值（）的概率，则称下表为随机变量的概率分布，简称为的分布列。.

7、.......................2.数学期望：一般地，若离散型随机变量的概率分布为[来源:学科网]........................则称为的数学期望（平均数，均值），简称为期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。若（二项分布），则。3.二项分布：（1）定义：如果在一次试验中某事件发生的概率是，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是：（其中）于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量服从二项分布，记作，其中为参数，并记.（2）二项分布的判断与应用.①二项分布，实际是对次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行次