2017年自招与三位一体专题

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1、2017年自招与三位一体专题第七讲定积分与微积分应用在近年自主招生试题中，有关导数与积分的内容大约占20%—30%。一、知识精讲一．定积分：设函数在上有界，在中任意插入若干个分点。把区间分成个小区间，各小区间的长度依次为并作和，记，如果不论对怎样的分法，也不论在小区间上点怎样的取法，只要当时，和趋于确定的极限，我们称这个极限为函数在区间上的定积分，记为。二．定积分存在定理：①当函数在区间上连续时，则在区间上可积；②设函数在区间上有界，且只有有限个间断点，则在区间上可积。三．定积分的几何意义：时，，则表示的图像与及轴围成的曲边梯形面积；若，令

2、，则表示的图像与及轴围成的曲边梯形面积的负值。四．微积分基本定理：牛顿-莱布尼兹公式如果是区间上的连续函数，并且，则。若记，则。牛顿-莱布尼兹公式沟通了导数与积分之间的关系，由此求定积分问题转化为求原函数问题。五．洛必塔法则：设（1）如果当时，函数都趋于零；（2）在内，都存在，且；（3）极限存在（或为无穷大）；则存在，且。上述准则称为洛必塔法则。六．二次曲线在某点处的切线方程：①设是圆上一点，则过的圆切线方程为；②设是椭圆上一点，则过点的椭圆切线方程为；③设是双曲线上一点，则过的双曲线切线方程为；④设是抛物线上一点，则过的抛物线切线方程为；

3、七．函数的单调性：若函数在内可导，则在内递增（递减）的充要条件是（），。八．函数的极值：1.定义：已知函数及其定义域内一点，对于存在一个包含的开区间内的所有点，如果都有则称函数在点处取得极大值，记作，并把称为函数的一个极大值点；如果都有则称函数在点处取得极小值，记作，并把称为函数的一个极小值点极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。注意：（1）.函数的最大（小）值是函数在指定区间内的最大（小）值；（2）.极值与最值不同，极值只是相对一点附件的局部性质，而最值是想对整个定义域内或所研究问题的整体性质。2.极值的必要条件：若函

4、数在可导，且在处取得极值，则。九．两个重要的极限：1.，2.[来源:学&科&网]三、典例精讲例1．（2011复旦）设为正数，，若在区间上大于0，则的取值范围是（）。（A）（B）（C）（D）►答案：A►分析与解：，当时，，所以在上单调递减，所以在上大于0，当且仅当，即。例2．（2011“华约”）已知，过的直线与该函数图像相切，且不是切点，求直线斜率。►分析与解：显然在的图象上。设切点为，，所以。另一方面，。所以，，而，所以，所以。例3．（2010南开）求证：。►分析与解：令，则，。由三角不等式，由知单调递增。又，故，从而单调递增。所以，，即。

5、得证。►注：在高等数学中的泰勒展开式为：。为其前两项。例4．（2003复旦）已知过两抛物线的交点的各自的切线互相垂直，求。►分析与解：联立得交点坐标为或。由对称性，不妨设切线在处互相垂直。对求导，有：；对求导，有：。它们切线的斜率分别为、，故。例5．（2009清华）一元三次函数的三次项系数为，的解集为。（1）若有两个相等实根，求的解析式；（2）若在上单调递减，求的范围。►分析与解：设，则，的解集为，故有，且得。（1），有两个相等实根，整理得或（舍去），，所以。（2），要使在上单调递减，只需在上恒成立即可，故只需解得，所以的范围为。例6．（2

6、010武大）已知是定义在区间上的可导函数，满足，且。（1）讨论函数的单调性；（2）设，比较函数与的大小。►分析与解：（1）由于。所以在上单调递减。（2）当时，有。证明如下：注意到，当时，，故由（1）可得，即。下证，即证。为此，考虑函数。因为，当时，有，所以在上单调减少，故，即。于是，即。例7．（2011“卓越联盟”）（1）设，求；（2）设，求常数，使得取得最小值；（3）设（2）中的最小值为，证明。►分析与解：（1）；（2）若，则，显然，当取最小；[来源:学&科&网]若，则，当取最小。故不妨设。。由（1）知，因，所以（*）记，令，得。即时，取

7、最小值。（2）将代入（*）式右边，[来源:Z_xx_k.Com]。由于，所以。下面只须证明即可。。令，则，注意到函数是单调递减的，且。所以，得证。三、真题训练1.（2006武大）如果定义在上的函数的单调递增区间为，那么实数的大小关系是（）（A）（B）（C）（D）2.（2007武大）在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为（）。（A）（B）（C）（D）3.（2008南大）函数的单调减区间为。4.（2008武大）求常数的值，使。[来源:学。科。网Z。X。X。K]5.（2000上海交大）若方程有3个不同实根，求实数的取值范围。6.（2000上海交

8、大）设在处可导，且原点到中直线的距离为，原点到中曲线部分最短距离为3，试求的值（）。[来源:学§科§网]7.（2007清华）求的单调区间及极值。[来源:Z,xx,k.Com]8.