2017年自招与三位一体专题

《2017年自招与三位一体专题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、2017年自招与三位一体专题第九讲等差数列等比数列与数列求和在近年自主招生试题中，数列是自主招生必考的一个重要内容之一，数列考得较多的知识点有:极限、数学归纳法、递推数列、等差等比数列、及数列的应用等。一、知识精讲一．等差数列：1.通项公式：；2.前项和公式：.二．等比数列：1.通项公式：；2.前项和公式：或.三．数列的通项公式与前项的和的关系：(为数列的前项的和为).四．常见数列的前项和公式：一．等差数列的主要判定方法：①（为常数）；②（）；③（为常数）；④（为常数）。二．等差数列的主要性质：①或（是公

2、差）；②若，且，则。注意，反之不一定成立；③数列（是常数）是公差为的等差数列；[来源:Z.xx.k.Com]④下标成等差数列，且公差为的项组成的数列仍然为等差数列，且公差为。三．等比数列的判定方法：①（是不为0的常数）；②（均为不为0的常数）；③（且均不为0）。四．等比数列的性质：①（为公比）；②若，则（）；③每隔项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列。五．数列求和方法：1.直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：（2）等比数列的求和公式（切记：公比含字母时一定

3、要讨论）2.公式法：（见常见数列的前项和公式）3.错位相减法：比如4.裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式：①；②③④5.分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和；6.合并求和法：如求的和；[来源:学科网ZXXK]7.倒序相加法：如等差数列的前项和公司的推导，有时关于组合数的求和问题，也常用到该方法；8.其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等。►备注：在等差数列中Sm+n=Sm+Sn+mnd,在等比数列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmS

4、n．六．第二数学归纳法：①先证时命题成立；假设时命题成立，再证明时命题也成立（有时称之为跨度为2的数学归纳法）。②当时，命题成立；假设对一切小于的正整数命题成立，能够推出（证明）时命题也成立。以上两种都是第二数学归纳法。七．主要方法：1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；2．求和过程中注意分类讨论思想的运用；3．转化思想的运用；三、典例精讲例1．（2012“华约”）已知，其前项和为，求。►分析与解答：，。所以，。例2．（2011复旦）设有4个数的数列为，前3个数构成一个等比数列，其和为，后

5、3个数构成一个等差数列，其和为9，且公差非零。对于任意固定的，若满足条件的数列的个数大于1，则应满足（）（A）（B）（C）（D）其他条件►分析与解答：由于前3个数成等比数列，不妨设公比为，后三个数成等差数列，公差为，依题意，。。所以，即。依题意知，此关于的方程的根不是唯一的，且。所以，，，且。故选D。例3．（2010复旦）已知数列满足：，且是公比为2的等比数列，则（）。（A）（B）（C）（D）►分析与解答：是公比为2的的等比数列，故，即。记，则。。①-②，得，即，选B。例4．（2007上海交大）已知等差数

6、列的首项为，公差为；等比数列的首项为，公比为，，其中均为正整数，且。（1）求的值；（2）若对于、，存在关系式，求；（3）对于满足（2）中关系式的，求。►分析与解答：（1）依题意，，故。由，，且。又。若，则，，矛盾！所以。（2），即，。（*）注意到，且，（*）式成立当且仅当。（3）由（2）知。例5．在等差数列中，公差，是与的等比中项，已知数列成等比数列，求数列的通项．►分析与解答：依题设得，∴，整理得∵，∴,得[来源:Z&xx&k.Com]所以，由已知得是等比数列．由于，所以数列也是等比数列，首项为1，公比

7、为，由此得等比数列的首项，公比，所以．即得到数列的通项为例6．（2004年春季北京卷)下表给出一个“等差数阵”：47（）（）（）………712（）（）（）………（）（）（）（）（）………（）（）（）（）（）[来源:学.科.网]………………………………………………[来源:Z

8、xx

9、k.Com]………………………………………………其中每行、每列都是等差数列，表示位于第行第列的数．（I）写出的值；（II）写出的计算公式以及2008这个数在等差数阵中所在的一个位置．（III）证明：正整数在该等差数列阵中的充要条件是

10、可以分解成两个不是1的正整数之积．►分析与解答：（I）;（II）该等差数阵中：第一行是首项为4，公差为3的等差数列：;第二行是首项为7，公差为5的等差数列：……第i行是首项为，公差为的等差数列，因此，要找2008在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数、，使得,所以,当时，得。所以2008在等差数阵中的一个位置是第1行第669列．（III）“必要性”：若在该等差数阵中，则存在正整数，使得从而即正整数可以分解成两个不是1的正整数之