2017年自招与三位一体专题

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1、2017年自招与三位一体专题第十一讲三角综合提高在近年自主招生试题中，三角是一个极其强大且非常重要的内容，在代数与几何中都占据着非常重要的地位，有着十分丰富的应用。在自主招生中，三角的热点问题是：三角函数的化简与求职，解三角形，三角函数的而图形与性质。不过难度并不大，主要以基础内容为主。[来源:学*科*网]一、知识精讲一．两角和、差的三角公式：1.正弦：2.余弦：3.正切：二．正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。，三．二倍角公式：1.余弦：2.正弦：、（3）正切：四．辅助角公式：►注意：有实数解五．半角公式（

2、万能公式）：六．正弦定理：（为三角形外接圆的半径）七．余弦定理：八．三角形面积公式：三角这一章的特点是公式多，除了高考要求一些基本知识点和公式之外，自主招生考试中还有一些需要进一步拓展的公式及结论，归纳如下：一．三倍角公式：，，。►注意：利用三倍角公式可以推导出这一特殊值：令，则，，。显然，（舍去负根）。二．常见三角不等式：[来源:Zxxk.Com]1.若，则；2.若，则.3..三．和差化积与积化和差公式：和差化积积化和差[来源:Zxxk.Com]四．三角形中的一些三角恒等式：在中，①；②；③；④；⑤；[来源:学科网Z

3、XXK]⑥；⑦；⑧；⑨；⑩。以上十个式子中，前六个式子可由降幂公式、和差化积、积化和差得到。⑦式与⑧式是等价的，⑨式与⑩式也是等价的。这里尤其值得一提的是⑦式：。这是一个非常有用的式子，在自主招生考试中经常用到，希望引起足够的重视。►注意：锐角中，任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，如。事实上，由，即得。由此对任意锐角，总有。五．三角恒等式：三、典例精讲例1．（2012“卓越联盟”）函数的值域是。►分析与解答：本题的方法很多，现提供如下几种解法。解法一：。由故，。解法二：令，则，再用判别式法，求得解法三：数形结合法。y

4、，可看成是圆上的点到的斜率，由解析几何有关知识，可得。如图。-2Ox解法四：导数法。。令。从而有。解法五：，令，则，，故。例2．（2005复旦）在中，，求。►分析与解答：中，。设，则（舍去），或，即。故。例3．（2012“北约”）求使得在有唯一解的。►分析与解答：原方程可化为，。令，则，。即关于对称，故在有唯一的解只可能在或取到。[来源:Z

5、xx

6、k.Com]时，，但此时时均有，即解不唯一；时，，此时解唯一，符合要求。综上，。例4．（2011“北约”）的三边满足，为的内角。求证：。►分析与解答：解法一，由正弦定理，。而

7、，所以。注意到，所以，所以。解法二：由余弦定理，（因为），所以。例5．（2011“华约”）、、为的内角，且不为直角三角形。[来源:学科网]（1）求证：；（2）当，且的倒数成等差数列时，求的值。►分析与解答：（1）证明：，，两边取正切，，。（2）解：。由（1）知，所以。又，所以。即。将代入，，。（此时为等边三角形）或。由于，所以或。例6．的三个内角成等差数列，求证：．►分析与解答：证明：要证原式，只要证即只要证而例7．在中，猜想的最大值，并证明之。►分析与解答：证明：当且仅当时等号成立，即所以当且仅当时，的最大值为所以例

8、8．（2010清华）求的值。►分析与解答：解法一：遇到高次的，一般采取降次的策略。。（*）。①，而，故。②将①②代入（*）式，。解法二：原式。注：解答本题除了对三角公式必须熟练掌握之外，还需要一定的恒心和代数功夫。有意思的是：本题还可进一步推广：是一个定值。另外，也是一个定值0；也是一个定值。更进一步，是大于1的奇数，则。例9．（2005上海交大）是否存在三边为连续自然数的三角形，使得：（1）最大角是最小角的两倍；（2）最大角是最小角的三倍；[来源:学+科+网Z+X+X+K]若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由。

9、►分析与解答：此问题可用两种方法去解，一种是三角法，另一种是纯几何法。解法一：（1）如图12-4（a），不妨设。在中，由正弦定理，。又由余弦定理，。于是，，解得，即三边长为4、5、6.[来源:学.科.网]（a）（b）[来源:学.科.网]图12-4（2）假设这样的存在。如图12-4（b），在中，由正弦定理，。又由余弦定理，。于是，，化简得，整理得。因n为整数，故，则边长为1、2、3，不构成三角形。故这样的三角形不存在。解法二：（1）如图12-5（a），设，延长BC至D，使。易知。令，则，即这样的三角形存在，且三边长即为4

10、、5、6。（a）（b）图12-5（2）若这样的三角形存在，设，，如图12-5（b），在AB上取一点D，使，则，故，而。在中，由知，故。若，三角形三边长1、2、3，舍去；若，三边长为2、3、4.但此时为，进而推出矛盾！故这样的三角形不存在。三、真题训练1.（2011“卓越联盟”）已知，则（）。（A）（B）（C）（D）2.（2007复