1.4 电势及其梯度

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1、§4电势及其梯度一.静电场作功与路径无关二.电势与电势差三.电势的叠加原理四.等势面五.电势的梯度六.电偶极层一静电场力做功与路径无关讨论静电场的环量从库仑定律和电场的叠加原理证明静电场力做功与路径无关证明单个点电荷产生的场把试探电荷q0从P移到Q静电场力做功只与起点终点有关，与路径无关点电荷组产生的场在电场中把试探电荷从P移至Q电场力所做的功P到q1的距离Q到q1的距离每项均与路径无关，只与位置有关任意有限大的连续带电体产生的电场可以将带电体无限分割成微元，每一个微元均为一点电荷——点电荷组结论：在任何电场中移动试探电荷时，电场力所做的功除了与电

2、场本身有关外，只与试探电荷的大小及其起点、终点有关，与移动电荷所走过的路径无关静电场的环路定理静电场力做功与路径无关等价于静电场力沿任意闭合回路做功恒等于零在任意电场中取一闭合回路，将试探电荷沿路径L从p——Q——P，电场力所做的功为讨论在证明Gauss定理中，说电力必须与r2成反比，那么在环路定理的证明中是否也必须要求与r2成反比？答：不一定哪些力具有做功与路径无关这种性质？重力引入重力势能势函数弹性力引入弹性势能（位）静电力引入静电势能二电势能、电势差、电势可以与重力做功类比电场力做正功，电势能将减少电场力做负功，电势能将增加电势能的减少q0在P点的电

3、势能q0在Q点的电势能电势增量定义静电场与q0有能量交换把电荷q0从p点移动到Q点，电场力作的功电势的定义从中扣除q0,即引入电势P、Q两点之间的电势差定义为从P点到Q点移动单位正电荷时电场力所作的功单位正电荷的电势能差空间某点的电势值为了确定某点的值，还需要选择零点一般选择无穷远为势能零点,P点电势值为两点之间电势差可表为两点电势值之差单位：1V(伏特）＝1J/C三电势叠加原理点电荷组有连续带电体有讨论电势与场强一样是一个描述场本身性质的物理量，与试探电荷无关，是标量。电势叠加是标量叠加。电势UP：P与无穷处电势差电势零点选取可以任意选取选择零点原则：有

4、限电荷分布取无限远处;无限电荷分布取有限远处例题10一示波器中阳极A和阴极K之间的电压是3000V，试求阴极发射的电子到达阳极时的速度，设电子从阴极出发时初速为零。[解]电子带负电，它沿电势升高的方向加速运动，即从阴极K出发到达阳极A.静电场力是保守力，按能量守恒电子到达阳极时获得的动能为电子伏特电子伏特：能量单位带有电量+e或-e的粒子飞跃一个电势差为1V的区间，电场力对它作的功(从而粒子本身获得这么多能量（动能）——1eV求电势用电势定义求：用电势叠加原理求【例题12】：计算均匀带电球面内外的电势。【解】：设球面半径R，电量Q球外（r>R）:球内（r≤

5、R）:ROUr图1.49球面电荷U-r线1-36两个均匀带电的同心球面，半径分别为Ra和Rb，带电总量分别为Qa和Qb,求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区内的电势分布方法一：已知场强求电势方法二：电势叠加各区域的电势分布是内外球壳单独存在时的电势的叠加Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ：小结：求一点电势要已知这点到无穷远的场强分布；电势叠加要先求各带电体单独存在时的电势，然后再叠加；电势是标量，叠加是标量叠加，比场强叠加容易性质:1.等势面与电力线处处正交证明：设一试探电荷q0沿任意一个等势面作一任意元位移dl电场力所做的元功等势面等势面（线、体）是电场中电势相等的点的集合。电荷沿等势面（线、体

6、）运动时电场力不做功。2.等势面密集处场强大，稀疏处场强小pabUU+dUφ图1.46电势梯度Q五电势梯度场有分布，沿各方向存在不同的方向导数沿l的方向导数可以表示为梯度：其大小为方向导数的最大值,即标量场变化率的最大值其方向为标量场变化率最大的方向电场强度和电势关系已知场强可求电势已知电势可否求场强？结论：1.静电场中任一场点的场强方向与电势增长率最大的方向相反；2.静电场中任一场点的场强大小与电势增长率最大值相等3.两等势面间U沿等势面法线方向的变化率比沿其他任何方向的变化率都大矢量微分算符直角坐标系表示球坐标系表示柱坐标系表示整个带电环在P点的电势

7、则建立如图所示柱坐标系，取计算均匀带电圆环轴线上任一点P的电势。设这圆环的半径为R，电荷线密度为e。例：15zdldEdEzθ